UNIVERSIDAD DEL BIO BIO DEPARTAMENTO DE CS BASICASEJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD 1) Sea X el tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia aguda. La fdp para X es f(x) = -x/2 + 1, para 0 < x < 2. a. Comprobar que es una fdp b. Hallar p(X>1) c. Hallar p(X=1) d. Hallar p(X≥1) Ayuda: hacerlo todo gráficamente 2) Determinar el valor de a para el cual la siguiente función de densidad de probabilidad esta bien definida. ⎧ −2 x ⎪ 5 f ( x) = ⎨ae .....si.....x ≥ 0 ⎪ 0.........si.......x < 0 ⎩ 3) 4) Según el resultado anterior, calcular la probabilidad que 1 < x < 5 Según el ejercicio 2), calcular la probabilidad que 2 < x < 7 5) Determinar el valor de K para el cual la siguiente función de densidad de probabilidad esta bien definida. ⎧ −3x ⎪ f ( x) = ⎨ Ke .....si.....x ≥ 0 ⎪ 0.........si.......x < 0 ⎩ 6) Según el resultado anterior, calcular la probabilidad que 1 < x < 5 7) Según el ejercicio 5), calcular la probabilidad que 2 < x < 7 DISTRIBUCIÓN UNIFORME Y EXPONENCIAL 1) Suponga Y = una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo 10 < Y < 120. Trace una gráfica de la densidad de Y. y encuentre la probabilidad de que y se encuentre en el intervalo 60 < y < 85. 2) En el ejercicio anterior, encuentre el valor esperado y la desviación estándar de Y. 3) Calcule las siguientes probabilidades para una variable aleatoria uniforme Y, definida sobre el intervalo 0 < Y < 200: a. P( 10 < Y < 50) b. P(Y > 50) Encuentre P(0300 < Y ≤ 1300). 6) Utilice una calculadora que evalúe ex para encontrar el valor de la función de densidad exponencial fy(y) para μ = 2. b. 1. Encuentre la probabilidad de que el tren llegue por lo menos con 8 minutos de retraso. y = 0. b. a. Encuentre la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor que 2 horas. c. utilice la lógica. b.000 posibilidades discretas) y uniformemente distribuida. ¿Cuál es la explicación? .5 y. P( y > 2) P(Y > 1) P(1 < Y < 2) P( 1 ≤ Y ≤ 2) (Sugerencia: En el inciso (d). a. Utilizando las probabilidades de Poisson. b. Encuentre la probabilidad de que el tiempo entre llegadas sea mayor que 1 hora. en vez de ocuparse del tiempo entre llegadas al centro de atención de emergencias. 0. c. Compare sus respuestas en este ejercicio con las del ejercicio 9. encuentre la probabilidad de que no haya llegadas en una hora. 7) =2 Calcule las siguientes probabilidades para una variable aleatoria exponencial con μ a. Trate a la variable Y = número seleccionado como si fuese continua (aun cuando sólo hay 10. concéntrese en las llegadas en un lapso de tiempo dado.5.) 8) En un centro rural para la atención de emergencias el tiempo entre llegadas sigue una distribución exponencial con un tiempo medio entre llegadas de 1.5 y 2. Encuentre la varianza de Y. observe también que un tiempo medio entre llegadas de 1. P(Y ≤ 120) 4) Una máquina que marca números telefónicos al azar selecciona aleatoriamente los últimos cuatro dígitos entre 0000 y 9999 (incluidos ambos). Encuentre la desviación estándar del tiempo de retraso del tren. a. Encuentre la probabilidad de que no haya llegadas en 2 horas.0. Y = tiempo de retraso de un tren de enlace suburbano se puede modelar como distribuida uniformemente entre 0 y 20 minutos. d.25 horas. Observe que las hipótesis para las distribuciones exponencial y de Poisson son idénticas. Bosqueje la función de densidad. 5) En los días del verano. no la calculadora.25 = 0.25 horas indica un promedio de 1/1. 10) En el ejercicio anterior. 1.c.0.80 llegadas por hora. a una tasa media de 12 por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para el siguiente "evento poco común" se encuentre entre 20 y 60 días? b. c. Encuentre la probabilidad de que el siguiente aficionado llegue en los próximos 3 minutos.5 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para la siguiente falla sea al menos de una semana (7 días) . o 5 minutos. Encuentre la probabilidad de que haya más de 5 llegadas en un periodo de 10 minutos (1/6 horas). ¿Qué hipótesis-subyacente a sus respuestas en el ejercicio anterior se pone en duda? 15) Un equipo de béisbol de la liga mayor (Estados Unidos) vende boletos (billetes) en una oficina del centro de la ciudad durante las horas de trabajo. Observe que el tiempo medio entre llegadas es de 1/12 horas. a. Encuentre la desviación estándar del tiempo para el siguiente "evento poco común". 14) Un análisis de los archivos de la central nuclear del ejercicio anterior muestra que los "eventos poco comunes" suceden con mayor frecuencia los fines de semana. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención mayor que 10 minutos. ¿Cuál es el número esperado de pasajeros atendidos por minuto? b. 13) En una central nuclear ocurren aleatoriamente a lo largo del tiempo "eventos poco comunes" (problemas menores de operación).10.11) En una aerolínea. el tiempo para atender a los pasajeros sin billete en el mostrador del aeropuerto sigue una distribución exponencial con una media de 5 minutos. encuentre un número k tal que la probabilidad de k o más llegadas en un cuarto de hora sea cercana a 0. dicha tasa permanece esencialmente constante durante el día. 16) En el ejercicio anterior. El tiempo medio entre dos eventos es de 40 días. a. 12) Considere la situación de atención a los pasajeros del ejercicio anterior. Los aficionados llegan a la oficina uno a uno y en forma aleatoria. a. 17) El tiempo entre "fallas del sistema" de cierta macrocomputadora parece seguir una distribución exponencial. b. Encuentre la probabilidad de que al menos un pasajero sea atendido en menos de 2. b.5 minutos. El tiempo medio es de 5 días. Encuentre-la probabilidad de que ningún pasajero sea atendido en menos de 10 minutos. Encuentre la probabilidad de un tiempo de atención menor que 2. a. a. .65 y-0........45 y-2... -2.....432 .. Rta.. 3) Determine la probabilidad de que un dato seleccionado aleatoriamente de una población normal de media 400 y desviación estándar 80....... Rta....... 1.. 2) a) b) c) d) e) f) Determine el porcentaje de área que se encuentra entre los siguientes valores z................ se encuentre entre la media y.....19 0...........= ................ a) b) c) d) e) f) g) -1. área = ....5 y 1.... área = ............... área = ....8....52 y-2...........372 área =......41 1....15 área = .2 y su desviación estándar es 0..= ......................................... área =........= .86 -0.......4 0.....36 -2.. Rta.. 4) La media de una población normalmente distribuida es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que haya un periodo de dos semanas sin ninguna falla? 18) En el ejercicio anterior...... área =.....b...... además el tamaño de la población es 1...............25 área = ....33 2............62 -2........ área = ....= .5 y -1...04 3.....515 1.. Rta..08 -0....= ......................... área =........ a) b) c) d) e) 440 310 550 570 528 Rta..56 y1... área =.... área = .......... ¿cuál es la probabilidad de que haya 4 o más fallas del sistema en una semana especifica? DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL 1) Determinar el área bajo la curva normal que se encuentra a la izquierda de los siguientes valores de z....... área =........ ...1 Rta = .. de cereal por caja..... ¿Cual es la probabilidad que el peso del cereal exceda de 13......... 1) 2) 3) 4.5 2.......8 3.....6826 ) Pág. ( R : 0........... 4.......1 oz............ Determine la probabilidad de que una caja escogida aleatoriamente tenga entre 13...2 oz.............5 Rta = . 4) 5..... Decil 6 Rta = ...1 oz....... Por supuesto no todas las cajas tienen exactamente 13...4 Rta = . 5/7 . Rta = ....8 y 5.2 Rta = .... b) Calcular el número de datos que están bajo... Cuartil 2 Rta = .. Percentil 60 Rta=....32 Rta = .....4772 ) 6) Par la situación descrita en el problema anterior .....?.....0 oz... 1) 4.........6 Rta = ............0 y 13...0 y 6.0062 ) 7) Del problema 5) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal este entre 12..2 6.... ? Ilustre la proporción de área debajo de la curva normal que es relevante en este caso ...... Percentil 95 Rta = ....... c) d) Calcular: 1) 2) 3) 4) 5) Percentil 34 Rta =. 3) 3....a) Calcular el número de datos que están sobre.25 oz................0 Rta = .. 1) 2) 3) 4) 4..... debido a las fuentes aleatorias de variabilidad......... 5) El sistema de empaque de una compañía de cereales para el desayuno no se ha ajustado para lograr colocar un promedio de μ = 13........ Ilustre la porción del área bajo la curva normal que corresponde a este caso ( R : 0............... Rta = .........9 y 13..... 3................. Entre los datos......02 y 5. 2) 6. Rta = . La desviación estándar del peso neto real es σ = 0............0 oz..... y se sabe que la distribución de pesos sigue la distribución normal.. de cereal e ilustre la porción de área bajo la curva normal que se asocia con este valor de probabilidad. ( R : 0.3 Rta = .. ( R : 0. ¿Cuál es la probabilidad de que el mecánico este equivocado? Ilustre la porción del área bajo la curva normal correspondiente a este caso.1359 ) 10) El tiempo necesario para reparar la transmisión de un automóvil en un taller de servicio se distribuye normalmente con media μ = 45 min. ( R : 55 .1 oz. Determinar el valor de t tal que el área a su izquierda sea de 0. con 23 grados de libertad.2 oz. Con una media de 64 puntos y una desviación estándar de 7. con 19 grados de libertad. 13) Los puntajes de un grupo de 560 alumnos se distribuyen en forma normal.95. Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo 60 puntos ó menos. 6/7 . Encontrar el % de alumnos que obtuvo 70 puntos ó menos.8 y 13. y desviación estándar σ = 8. a) b) c) d) e) f) g) Encontrar el % de alumnos que obtuvo 66 puntos ó más. ¿Sobre qué puntaje se encuentra el 25% mejor del grupo? ¿Bajo qué puntaje se encuentra el 30% más bajo del grupo? DISTRIBUCION T DE STUDENT Y DISTRIBUCION JI CUADRADO 1) 2) 3) Determinar el valor de t tal que el área a su izquierda sea de 0.? Ilustre la porción del área bajo la curva normal correspondiente a este caso.90. con 15 grados de libertad. Determinar el valor de t tal que el área a su derecha sea de 0. Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo entre 60 y 75 puntos.3 puntos.2676 ) 11) Con referencia al problema anterior ¿ Cual es la asignación de tiempo requerido de trabajo para que haya un 90 % de posibilidades que la reparación de la transmisión se termine dentro de ese tiempo? Ilustre la porción de área correspondiente.99. ( R : 0. después que el vehículo se ha entregado y le comunica al cliente que el auto estará listo en una hora en total . Pág.8) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal del problema 5) se encuentre entre 12. El mecánico planea comenzar la reparación del auto de un cliente 10 min.1 y 13.0min .8185 ) 9) De acuerdo con el problema 5) ¿ Cual es la probabilidad de que el peso del cereal este entre 13.? Ilustre la proporción de área por debajo de la curva normal correspondiente a este caso. ) 12) Con referencia al problema 10) ¿ Cual seria el tiempo de trabajo asignado para que hubiera una probabilidad de solo 30 % de que la reparación de la transmisión se terminase durante dicho tiempo? Ilustre la porción del área correspondiente.24 min. ( R : 0. Encontrar el Nº de alumnos que obtuvo 60 puntos ó más. 1. 2 Determinar el valor de χ 12 y χ 2 . Determinar el valor de χ 2 . el área a la 2 izquierda de χ 12 sea de 0. con 22 grados de libertad. el área a su izquierda sea de 0. con 45 grados de libertad. con 14 grados de libertad.4) 5) Determinar el valor de t tal que el área a su derecha sea de 0. Determinar el valor de χ 2 . con 24 grados de libertad.9. tal que . Determinar el valor de χ 2 . tal que . con 12 grados de libertad.9. con 26 grados de libertad. tal que . Determinar los valores de t tales que la suma del área a la izquierda de –t y el área a la derecha de t sea de 0. Determinar el valor de χ 2 .90. 2 Determinar el valor de χ 12 y χ 2 . Determinar los valores de t tales que la suma del área a la izquierda de –t y el área a la derecha de t sea de 0. tal que . con 22 grados de libertad.9.1. Determinar los valores de t tales que el área entre ± t sea de 0. con 28 grados de libertad. el área a su derecha sea de 0. el área a su derecha sea de 0. el área a su izquierda sea de 0. con 9 grados de libertad.01. con 21 grados de libertad.95. el área entre ellos se de 0. Determinar el valor de χ 2 . con 7 grados de libertad. tal que .05. 7/7 . con 58 grados de libertad.95. el área a su izquierda sea de 0. 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Pág.99. tal que . Determinar los valores de t tales que el área entre ± t sea de 0.99.05 y el área a la derecha de χ 2 sea de 0. tal que .