CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA ICONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS FLUJO COMUN CONTINUO PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 1-I) Un cilindro sólido A de masa 2.5 Kg. Se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es de 1 ] 1 ¸ × − 2 3 ¨ 10 7 m s N . ¿Cuál será la velocidad terminal del cilindro, es decir, la velocidad constante al final del cilindro? Solución. n v δ δ µ τ · 0001 . 0 0 − · v µ τ 0001 . 0 10 7 3 v − × · τ v 70 · τ En la ecuación anterior el valor de v se tomara como la velocidad terminal v T . DL W τπ · Donde: W = Peso del cilindro. D = Diámetro del cilindro L = La longitud del cilindro ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 150 . 0 0738 . 0 70 81 . 9 5 . 2 ρ T v · s m v T 07 . 10 · 14 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS 2-I) Un cuerpo que pesa 90 Lb y que tiene una superficie plana de 2 pie 2 se resbala sobre un plano lubricado, el cual forma un ángulo de 30 0 con la horizontal. Para una viscosidad de 1 ] 1 ¸ × × − 2 3 10 09 . 2 pie s Lb y una velocidad del cuerpo de 3 1 ] 1 ¸ s pie , determinar el espesor de la película lubricante. Solución. dh dv µ τ · A F · τ ( ) 0 0 30 cos 90 30 cos · · F F H [ ] Lb F H 9 . 77 · ( ) 0 0 30 90 30 sen Fsen F V · · [ ] Lb F V 45 · 2 45 · · A F τ [ ] 2 5 . 22 Pie Lb · τ τ µdv dh · ( ) τ µ 0 − · v h h = Espesor del lubricante e. ( )( ) 5 . 22 3 10 09 . 2 3 − × · · τ µv e [ ] pie e 4 10 78 . 2 − × · [ ] lg 35 . 3 p e · 3-I) En la figura, un eje roda dentro de una camisa concéntrica de 1200 rpm. La luz e es pequeña con respecto al radio R, de tal manera que se puede suponer una distribución lineal de velocidad en el lubricante. ¿Cuáles son los requerimientos de potencia para rotar el eje? [ ] [ ] [ ] [ ]. , 1 . 0 , 6 , 2 2 m S N mm e cm L cm R · · · · µ 15 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS Solución. Potencia: P = T ω Donde T = Momento torsos. ω = Velocidad angular del eje. [ ] s rad 66 . 125 60 2 1200 · · π ω ( ) ( ) ( ) 0001 . 0 02 . 0 66 . 125 2 . 0 · · · e R dh dv ω µ µ τ [ ] 2 5 . 5026 m N · τ pLR T τ · Donde: pL = Área del eje en contacto con lubricante. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 02 . 0 06 . 0 02 . 0 2 5 . 5026 2 π π τ τ · · · R RL pLR T [ ] Nm T 578 . 0 · Potencia requerida: ( )( ) 66 . 125 758 . 0 · P [ ] W P 2 . 95 · 4-I) Una masa de aire tiene una presión de 0.8 2 cm Kg absolutos a una temperatura de 5 0 C. ¿Cuál es su densidad? Solución. Las condiciones del problema son: 2 2 8000 8 . 0 m Kg cm Kg P · · K T 0 278 273 5 · + · 16 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS K m R 0 2 . 29 · El peso específico del aire será: ( )( ) 3 0 0 2 99 . 0 278 2 . 29 8000 m Kg K K m m Kg · , _ ¸ ¸ · γ Hallamos ahora la densidad en el sistema internacional 2 2 3 81 . 9 81 . 9 99 . 0 s m s Kg m Kgm m Kg , _ ¸ ¸ − − , _ ¸ ¸ · ρ 3 99 . 0 m masa Kg − · ρ 5-I) Si al término de un análisis en peso de una mezcla de arena-agua se obtiene que las 3 2 partes esta constituida de arena y 3 1 de agua. Determinar cual es la densidad de la mezcla aceptando que la densidad de la arena es 3 4 . 2 cm m g − y la densidad del agua es 3 1 cm m g − . Solución. La densidad de la mezcla se puede calcular mediante la siguiente expresión: ( ) ( ) agua de volumen arena de volumen agua masade arena de masa + + · · dV dM ρ (a) El volumen de arena se puede calcular a partir del peso total: 3 2778 . 0 4 . 2 3 2 cm P P V t t arena · · (b) Igualmente se puede calcular el volumen de agua: 17 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS 3 3333 . 0 1 3 1 cm P P V t t agua · · (c) Reemplazando (b) y (c) en (a) se tiene que: ( ) 3 64 . 1 3333 . 0 2778 . 0 cm m g P P P t t t − · + · ρ 3 64 . 1 cm m g − · ρ 6-I) Con referencia a la figura las áreas del pistón A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000 Kg. Los depósitos y las conducciones de conexión están llenos de aceite de densidad relativa 0.750. ¿Cuál es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Solución. Se determina primero la presión que actúa sobre A. Como X L y X R están en el mismo nivel en la misma masa de líquido, se tiene. Presión en X L en 2 cm Kg = presión en X R en 2 cm Kg O presión bajo A + presión debida a los 5 m de aceite B de area B de peso · Sustituyendo 2 4 4000 4000 10 ' cm Kg wh P A · + 2 2 4 0 . 1 10 50 750 ' cm Kg cm Kg P A · × + y 2 625 . 0 ' cm Kg P A · Fuerza P = presión uniforme x área = Kg cm cm Kg 0 . 25 40 625 . 0 2 2 · × 18 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS 7-I) El aceite de densidad relativa 0.750 esta fluyendo a través de la boquilla mostrada en la figura y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar el valor de h si la presión en A es de 1.40 2 cm Kg . Solución. Presión en B = Presión en C Utilizando como unidad 2 cm Kg ( ) ( ) mercurio wh P aceite wh P B A 4 4 10 ' 10 ' + · + ( ) ( ) ( ) 4 4 10 1000 57 . 13 10 825 . 0 1000 750 . 0 40 . 1 h h × · + × + ⇒ m h 14 . 1 · Otro método es utilizar como unidad la altura de presión en m de agua, Altura de presión en B = Altura de presión en C ( ) h h 57 . 13 750 . 0 825 . 0 1000 10 40 . 1 4 · − − × m h 11 . 1 · 19 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS 8-I) Determínese la viscosidad del fluido entre el eje y la camisa de la figura. Solución. m m N rL F A F 2032 . 0 0381 . 0 2 89 2 × × · · ⇒ · π π τ τ [ ] 2 62 . 1829 m N · τ dv dy dy dv µ τ µ τ · ⇒ · ∫ ∫ · h v dv dy 0 0 µ τ ∫ ∫ − × · 5 10 6 . 7 0 13 . 0 0 dv dy µ τ s m m m N 13 . 0 10 6 . 7 62 . 1829 5 2 − × × · µ 20 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS [ ] 1 1111 . 1 m s N ⋅ · µ Haciendo la respectiva transformación: [ ] poise 696 . 10 · µ 9-I) Una placa grande se mueve con una velocidad V 0 por encima de una placa estacionaria sobre una capa de aceite. Si el perfil de velocidades es parabólico, y el aceite en contacto con la placa tiene la misma velocidad que esta, ¿Cuál es el esfuerzo cortante causado por el aceite sobre la placa en movimiento? Si se supone un perfil lineal; ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la placa en movimiento? Solución. Para la hipótesis de distribución de velocidades lineal, la relación entre la velocidad y la distancia será: 0 0 1 2 1 2 0 0 V d V d x x y y m · − − · − − · ( ) ( ) 1 1 x x m y y − · − Ecuación de la recta ( ) ( ) 0 0 0 − · − V V d y y d V V 0 · El gradiente de velocidades: d V dy dV 0 · Entonces la tensión cortante: dy dV µ τ · ; d V 0 µ τ · 21 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS Esta ecuación no depende de la distancia “y” τ ⇒ es la misma que cualquier distancia “y” de la placa estacionaria. La capa superior d y · ⇔ d V 1 µ τ · ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA PLACA MOVIL Para la hipótesis de distribución de velocidades parabólica, se tendrá: ( ) ( ) h x a k y − − · − 1 1 Ecuación de la parábola Vértice ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , V V a d y d V − − · − ⇒ ( ) ∈ 1 , 1 Curva ( ) ( ) 1 1 1 1 1 V a d − − · − ⇒ 1 1 1 1 1 1 V d a aV d · ⇒ · ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 V V V d d y − − · − ( ) 1 1 1 1 d y d V V V − − · El gradiente de velocidades: ( ) d y d V dy dV − − · 1 1 1 La tensión cortante: dy dV µ τ · ; ( ) ( ) d y d V d y d V − − · 1 ] 1 ¸ − − · 1 1 1 1 1 1 µ µ τ Cuando d y · (Placa en movimiento) 0 · τ ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA PLACA MOVIL 22 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS 10-I) El agua corre a través de una tubería. El perfil de velocidad en una sección es como se muestra en la figura y matemáticamente viene dado por: , _ ¸ ¸ − · 2 2 4 4 r D V µ β Donde: · β constante · r distancia radial desde la línea central · V velocidad en cualquier posición r ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la pared de la tubería causado por el agua?, ¿Cuál es el esfuerzo cortante en una posición 4 D r · ? Solución. ( ) r r dr dV µ β µ β 4 2 2 4 − · − · r dr dV µ β µ τ µ τ 4 2 − · ⇒ · r 2 β τ − · Cuando 2 2 2 D D r × − · ⇒ · β τ 4 D β τ − · 23 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS Cuando 4 2 4 D D r × − · ⇒ · β τ 8 D β τ − · 11-I) Un bloque de KN 1 de peso y mm 200 de lado se desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con espesor de mm 0050 . 0 . Sise utiliza un perfil lineal de velocidades en el aceite. ¿Cuál es la velocidad terminal del bloque? La viscosidad del aceite es 2 10 7 − × poise. Solución. KN W 1 · mm l 200 · [ ] 2 3 2 10 7 10 7 m Ns poise − − × ⇒ × · µ ⇔ 0 V Velocidad del bloque Hipótesis lineal y d V V 0 · d V dy dV 0 · 0 · ⇒ · a ctte V 0 ∑ · ma F 0 20 0 · − F mgsen ; A F · τ Esfuerzo de corte A Wsen τ · 0 20 ; dy dV µ τ · Newton A dy dV Wsen µ · 0 20 24 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS A d V Wsen 0 0 20 µ · A d Wsen V µ 0 0 20 · ( )( ) ( )( ) 2 3 3 0 0 2 . 0 10 7 10 005 . 0 20 1000 − − × × · sen N V [ ] s m V 11 . 6 0 · TODO EN UNIDADES DEL SI 12-I) Un cilindro de m 122 . 0 de radio gira concéntrica mente en el interior de un cilindro fijo de m 128 . 0 de radio. Ambos cilindros tiene una longitud de m 305 . 0 . Determinar la viscosidad del líquido que llena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 0 Nm 881 . para mantener una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Solución. m r 122 . 0 1 · ; m r 128 . 0 2 · m L 305 . 0 · ; m N M ⋅ · 881 . 0 1 ] 1 ¸ · · s rad rpm π ω 2 60 gencial velocidad r v tan ⇒ · ω [ ]) 2 )( 122 . 0 ( s rad m v π · 1 ] 1 ¸ · s m v 767 . 0 resistente M M · 0 25 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ] 1 ¸ − · − 1 ] 1 ¸ · − − · · ⇒ · · ⇒ · · ⇒ · · × · ∫ ∫ 128 . 0 1 122 . 0 1 4597 . 0 0 767 . 0 1 4597 . 0 1 4597 . 0 767 . 0 Cuando 0 Cuando 4597 . 0 4597 . 0 305 . 0 2 881 . 0 122 . 0 128 . 0 2 1 122 . 0 128 . 0 2 1 2 2 2 1 2 µ µ µ µ µ τ τ π τ r V V dr r dV s m V r r V r r r dy dV dy dV r r r V V s Pa ⋅ · 230 . 0 µ 13-I) Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas mm 25 , y el espacio entre ellas esta lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es 2 10 . 0 m s kp . Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 2 40dm de área a la velocidad constante de s cm 32 , si es que la placa dista mm 8 de una de las superficies? Solución. 2 / 10 . 0 m Kps · µ ; s m s cm V / 32 . 0 / 32 0 · · 2 1 τ τ τ + · 2 2 1 1 dy dV dy dV µ µ τ + · 26 CAPITULO I TEXTO GUIA HIDRAULICA I CONCEPTOS GENERALES EJERCICIOS RESUELTOS SEGÚN LA HIPOTESIS LINEAL y V dy dV · V= VELOCIDAD DE PLACA MOVIL y = DISTANCIA ENTRE PLACAS 2 1 0 V V Ctte V · ⇒ · 1 ] 1 ¸ + · 2 1 0 1 1 y y V µ τ τ τ ⋅ · ⇒ · A F A F 1 ] 1 ¸ + · 2 1 0 1 1 y y V A F µ 1 ] 1 ¸ + · 008 . 0 1 017 . 0 1 ) 32 . 0 )( 10 . 0 )( 4 . 0 ( F Kp F 35 . 2 · 27