05 SOLUCIONARIO_ARIT 4°.pdf

June 23, 2018 | Author: Roy Marcel Vasquez | Category: Proposition, Formalism (Deductive), Logical Expressions, Mathematical Logic, Truth
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Unidad 1 LÓGICA PROPOSICIONAL PRACTIQUEMOS También: Nivel 1 (página 8) Unidad 1 +r / (p + +s) Comunicación matemática F F V F 1. Los enunciados (II) y (V) no son proposiciones lógicas, ya que no se les puede asignar un valor de verdad (II es una oración desiderativa y V es una oración F imperativa). De donde: s = F Los enunciados (I), (III) y (IV) sí son proposiciones, ya que se les puede asignar un valor de verdad. Luego: I. (p & +q) 9 r Clave C (F & +F) 9 V 2. El acusado es culpable si y solo si (F & V) 9 V V9V p + F las huellas son auténticas; q II. (s / r) 0 p las huellas son auténticas (F / V) 0 F q F0F si y solo si se encuentran en el arma del delito. F + r ` (p + q) / (q + r) III. (+s & +q) & r (+F & +F) & V Clave E (V & V) & V V&V 3. Las personas te odiarán porque V p % Clave E siempre, dices la verdad, si y solo si, q + Resolución de problemas siempre dices la verdad, pues 6. I. 32 = 23 + 102 = 100 q % F + V eres persona moral. F r ` (q & p) +  (r & q) II. 7 > 3,5 ó 27,3 = 33 2 Clave D F V F F Razonamiento y demostración 4. Del enunciado: III. 4π $ 3 y 3 + 2 > 1 [(q + p) 9 s] 0 +(q / s) V / V V F F Clave A F 7. p q + [p 0 (q & +p) + q Entonces: • +(q / s) • [(q + p) 9 s] V V F V V V F F F V V V V V V V F F V V F V F V F V V F V F F V V V V F V F F F F F F V F V V V F Consistente Luego: p = V; q = V; s = V Clave B Clave B 8. 5. Por dato +p & (+r 0 q) p q [+p / (+q + q) T (q & p) V F F V V F F F F V V V V V F V F F F V F F V F V V F F V V F F F V F V F F De donde: F F V F V F F V F V F p = F; r = V, q = F Clave D 2 Intelectum 4.° 9. p q +p α (+q α p) • (p 0 q) 0 (s & ar) V V F V F V V (F 0 V) 0 (F & F) / (V) 0 (V) / V V F F F V F V • (p & q) T q F V V F F F F (F & V) T V / (V) T (V) / F F F V F V F F Por lo tanto, los valores de verdad son: FVF Matriz principal Clave B Clave D 10. Simplificamos: 14. (p / + q) & (p &  r) / F [(+r / s) 0 +(+s 0 +r)] & (p / q / +s) V F / [(+r / s) 0 (s / r)] & (p / q / +s) •  p / +q / V / [s / (+r 0 r)] & (p / q / +s) V/ V / [s / V] & (p / q / +s) •  p  & r /   F / s & (p / q / +s) V& F / +s 0 (+s / p / q) Tenemos: p / V; q / F; r / F / +s Entonces: Clave D I. p 0 q es falsa p0q/V0F/V Nivel 2 (página 8) Unidad 1 No se puede afirmar I. Comunicación matemática II. r & q es verdadera 11. Habrá un caos social, si y solo si, r&q/ F&F/ V p + Sí se puede afirmar II. no se atienden las demandas laborales, o, III. +      q & p es verdadera aq 0 +      q & p / V & V / V se suspenden las garantías constitucionales. Sí se puede afirmar III. +r Clave D ` p + (+q 0 r) Clave C Resolución de problemas 15. p q (p / +q) & + (q & +p) 12. La teoría de la relatividad no es exactay V V V F F V V V F F +p / V F V V V F F F V F las leyes de la mecánica celeste no son absolutas, F V F F F V F V V V +q F F F F V V F F V V puesto que Matriz principal % Einstein no está, científicamente equivocado. Clave D +r ` +r & (+p / +q) 16. p q (q 9 +p) & + [+p / (q + p)] Clave B V V V V F V V F F V V V V F F F F V V F F F F V Razonamiento y demostración F V V F V V V V F V F F F F F V V F F V V F V F 13. A. ap / a(r & s) / V Consistente V F Clave C Entonces: p / F; r / V ; s / F 17. p q + [(p * q) q B. (p & q) + q / V * +p] 9 . V V F V F V V F V V (F & q) + q / V V F F V V F V F F F F V V F V V F V F V V +q/V F F V F V F F V V F . V Clave D Luego: • (p 0 q) / (r + s) 18. Simplificamos: (F 0 V) / (V + F) / (V) / (F) / F {+[(p X q) / (q X p)] X +p} & p / {+[(+p & q) / (+q & p)] X +p} & p / {+[(p 0 q) / (q 0 p)] X +p} & p ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1 3 p 0 q respectivamente VVF. Por lo tanto. 0 [+p 0 +(q & p)] & +q +{+[(p / q) & r] / [(p & q) 0 p]} / F [+p 0 +(+q 0 p)] & +q F V [+p 0 (q / +p)] & +q • (p / q) & r / F [+p 0 (+p / q)] & +q . (V) / {(+p / +q) 0 +p} & p p puede ser V o F / {+p} & p III. q / V . [p & +(q & p)] & +q 24. (F) /p0p/p r puede ser V o F Clave A Clave D 19. p q [p / (+q 9 p)] + + {+q / [+p + (p / q)]} r V V V V F V V V V F F F F V V V ` (q & p) / (aq & r) V F V F V F V V F V V F V V F F Clave E F V F F F F F F V F F V F F F V F F F F V V F F V V F V F F F F Razonamiento y demostración Clave C 23... II y III son equivalentes.. / {+(p 0 q) & X+p} & p Luego: / {(p 0 q) & +p} & p I. Elena asistirá a la fiesta pues F F F V V F V V V F V V F F F p % Tautología recibió una invitación. los valores de verdad de las variables proposicionales p. entonces 26. q y r son III. V F +p & +q / +(+p) 0 +q p 0 +q Entonces: p / V.° .. p) 9 p] . Sean las proposiciones: V V V F V V F F V F F V V V V p: Juan Carlos es congresistas V V F F V F V F V V F F F V V Q: Juan Carlos es presidente de la comisión de constitución.(1) ` [p & +(q & p)] & +q / p 0 +q • (p & q) 0 p / V . (V) +q = V. I. Se tiene: +t & {[+q & (s + t)] 0 (p / r)} 27. entonces: q = F / {+(p 0 q) 0 +p} & p II. +p & q / +(+p) 0 q / p 0 q Por lo tanto. Clave B Clave C Resolución de problemas Nivel 3 (página 9) Unidad 1 25. aq & irá a un paseo campestre. Comunicación matemática p q r [+p & (r & +q)] 0 [+(+p 9 r) 0 q] 21. V V V F F p q (q . V F V F V V V V V F F V V F F Luego: V F F F V F V V V V F F F V F (p / q) & p F V V V F V F F V V V F V V V Clave B F V F V V F V F V F V V F V V F F V V V V V V V V V F V V F 22.(2) Clave E 20. +p 0 +q / +(p / q) Los valores de (1) también verifican en (2). Clave A q / Si no recibió una invitación. (+q / p)} F V V V F F V F V V F V F F F V F V F F F F V V F V V V F V V V F F V V F V V F F F F F F F F F F F F F V V F V F F F F F V F F Clave D 4 Intelectum 4. II. +p) + {[(+q . Simplificamos: t & {(q 0 p) / a(p 0 q)} [p & +(p / q)] & {[(q 0 p) / +q] / (+q & +p)} t & {(p 0 q) / a(p 0 q)} (Complemento) t & F / at 0 F / at / [+p 0 +(p / q)] & {[p / +q] / (q 0 +p)} Clave C / [+p 0 +p 0 +q] & {+[+p 0 q] / (+p 0 q)} 30. Por dato: F p * q / a(p 0 q) / +[+p 0 +q] 0 F Luego: / +[+p 0 +q] / p / q / p α +q N / +[(a & b) 0 (a * +b)] 0 [+(+a 0 +b)] Clave C N / +[(+a 0 b) 0 (+a / b)] 0 [a / b] 29. t & {[(p & q) & q] / [ap / (q & p)]} N / +[(+a 0 b)] 0 (a / b) t & {[a(p & q) 0 q] / [ap / (aq 0 p)]} N / (a / +b) 0 (a / b) t & {[a(ap 0 q) 0 q] / [ap / (p 0 aq)]} N / a / (+b 0 b) t & {[(p / aq) 0 q] / (ap / aq)} V N / a / V ` N/a t & {[q 0 (aq / p)] / a(p 0 q)} Clave A ARITMÉTICA .28.SOLUCIONARIO UNIDAD 1 5 . (36.N = Q 2. 4.5 Clave D 2 6 Intelectum 4. 9.a < x < a + b} ` n[P(A . 2.(A + C) (V) N = {4. 9 ! (C . 7.n < x < 2n + m} V.10 = 0 5 Reemplazando los valores de m y n: & 5 . y = 4: 6 . x / y ! Z+ II. I.4). b} & a = 1 n(A . 6. (F) Clave C Para: x = 2. Si se cumple: M . 5.n < x < 2n + m} d) 7 x ! A / x . 2. 8. 1.N = Q & m 1 N Se deduce que los elementos de M y N son iguales. 3. y = 6: 2 + 6 = 7 (falso) n[P(A + B)] = 64 = 26  & n(A + B) = 6 Se cumple: 5. 7. Dado el conjunto: A Clave B A = {x2 / x ! N / 5 < x < 9} Resolución de problemas Hallamos x: 2 x = {6.2) = (44.1 < x < 2(1) + 5 Razonamiento y demostración 4<x<7 4. 1. x . 11} 1. 8. 36} y N = {3. 5} II. 5 ! (B + C) .3 > 0 (falso) 9. y = 6: 9 + 6 ! z 5 8. 5. 16. 10. (A . (C + B) (F) III. x ! 5 Para: x-5 & A = {6. a) 6 x ! A : x + 2 > 4 4n = 4 / 5 = m b) 7x!A/x-2=4 n=1 7x!A/ x !N c) Hallamos el conjunto p: 5 x P = {x es par / m .         (36. 1 ! (A . 7. B) . 12} Nivel 1 (página 12) Unidad 1 A T B = {-1. x = 6: 9 . (16. 6} x = 3.2 > 0 x(x + 7) = 4(4 + 7) & x = 4 x = 6. y . entonces: 3. y = 2: 3 .° . B)] = 29 = 512    2<x<4 Clave D          3 (impar) ` C = Q 10. 6 ! (C . (16.3). 8} 6.n(A + B) Entonces: A = B Entonces: {2a. (V) x2 + 7x = 44 x = 3. 7. A . TEORÍA DE CONJUNTOS PRACTIQUEMOS & B = {-1. 9. 3. 10. (x2 + 7x. Tenemos: & n(A + B) = 5 M = {9. m} IV. B) = n(A) + n(B) . 11} A = {36. y = 2: 3 + 2 ! Z P = {x es par}  & P = {6} 5 ` n(P) = 1 x = 6.25 = x + 5. y = 3: 2 . 5 ! (B + C) . 4} ` n(A T B) + n(A + B) = 14 a) M # N = {(9.3).4 > 0 y . B) = 7 + 8 .B = Q y tienen la misma cantidad de elementos. 4.B) . 12} & n(A T B) = 9 Comunicación matemática A + B = {6.3). (V) & x = {5. 49. 3} = {2. 9.B) (F) M = {4n. 8.(B + C) (F) P = {x es par / m . y = 4: 6 + 4 !z 5 Clave B x = 9. B) = 9 C = {x es par/ b . Se tiene A y B. (F) n[P(A)] = 128 = 27  & n(A) = 7 Para: n[P(B)] = 256 = 28  & n(B) = 8 x = 2.4). n(A . 64} & n(A) = 3 -1 # x # 8 n[P(A)] = 2n(A) = 23 = 8 -3 # 3x # 24 n. 0.4)} Clave C b) n(N # M) = 6 7. (9. 11. 32). Donde: I.   .6 > 0 ` x + y = 38 III.2 = 32  & y = 34 x = 9.6 = 9                        b = 3 & n(A . tal que: IV. 0.° subconjuntos del conjunto potencia: -2 # 3x + 1 # 25 2n[P(A)] = 28 = 256 -1 # 3x + 1 # 12.(A + B) (V) Del dato: M .B) . 8} Los elementos de A son iguales. Sean los conjuntos: A y B Clave A Donde: n(A) = 7  / n(B) = 3 Resolución de problemas 15.2x . = n(B) = 3 C = {x / x ! Z / 7 < 3x < 11} Clave D 7 < x < 11 3 3 20. b = 4 y c = 4 c) n (A T B) = 6 Piden: d) n(A) = 4 a . 6 & x = 3 x C = {3} & C es unitario w Clave C A C B 16. 121. B)máx. Si el conjunto A es unitario: A = {a + b. x2 . cuando: B 1 A B = {3} & B es unitario n(A + B)máx. Halla la representación de la figura sombreada. n(A . 82} & 22x = 26 V. c = 4 # 4 # 4 = 64 Clave B 12.A) . b . q ! (A .4 / x ! Z / 3 # x < 7} 19. A = {23.B) = 15 (dato) y z ARITMÉTICA .2 = x3 . Por dato: A  /  B son unitarios II. 0. cuando: (A + B) = Q    x -3 n(A . b + c. 4} Razonamiento y demostración D = {b + 1.4 42 + 34 + 12 + x = 105 ` x = 17 tx . I.SOLUCIONARIO UNIDAD 1 7 . 5} 13.B) V B = {22x. C)'] = x t3 = 121 = 53 . b.4 x t2 = 60 = 43 .C 9 8 6 Clave E 13 12 28 12 14. = n(A) + n(B) = 7 + 3 = 10     x 1 x = 3 0 x = -1 Para: n(A + B)máx. 3 1  x  1 3. a + c. A F & a = 0  / b = 0 IV. 60. U = 105 A = 42 54 = B ` (A + B) . B .4 / 3 # x < 7 Clave C ` A = {x3 . 212} 3 C = 65 t1 = 23 = 3 . b + 4} & C = {1. B)máx. -2.3 = 0} n(A . x + 2 } & D = {1. A = {x / x ! Z.B) F 17.Nivel 2 (página 13) Unidad 1 a+b=8 Comunicación matemática b + c = 8 (+) 11.4 Luego: t4 = 212 = 63 .B) + (C . t " (C . C F &x=3 C = {a + 1. a) A = {x2/x ! N / 5 # x # 8}       a + c = 8 2a + 2b + 2c = 24 B = {x3/x ! N / 1 # x # 4} a + b + c = 12 b) A + B = {64} & a = 4. r ! (B . B) y n(A + B) A no es unitario Luego: B = {x / x ! N. B) + (C . ` n(C + D) = 1 Clave A U A B C 18.2. 0} n(A . 3b} & 2a = 3b III. b . x < 1} Nos piden el máximo valor de: A = {…. -1. p " (A . n ! (C + A) .B) .4 Sea: n[(A . Como: ! ! C + B' = Q & C 1 B 2.(A + B) V A = {2a. -2. n(A) = 15 + x + y Fuman y beben o no fuman ni beben  30 = 15 + x + y & x + y = 15 ...(1) 16 + 72 = 88 n(B) = x + y + z + w   40 = 15 + z + w & z + w = 25 ...(2) e) 2n + 2 - 2 . 2n - 2 = 7 # 25 n(C' + B) = x + w 2n(22 - 2-1) = 7 # 25 & 33 = x + w ...(3) 2n . 7 = 7 # 25 2 Sumando (1) y (2): 7 # 2n - 1 = 7 # 25 x + y + z + w = 40 &n-1=5 x + w + y + z = 40 ` n=6 33 &y+z=7 f) Se observa: Piden: A = {0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89} n[C , (A - B)] = 15 + y + z = 15 + 7 = 22 ++++++ + + + + + Clave E & n(A) = 10 Nivel 3 (página 14) Unidad 1 g) -7 < 4x + 1 < 21 Comunicación matemática -2 < x < 5 21. & M = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} I. 0 ! (A - C) , (B + C)   F & n.° subconjuntos propios = 2n - 1 ` 26 - 1 = 63 II. 4 ! (A + B) , (B - A)   V h) III. 7 ! (C - A) - (B + A)   V IV. 6 ! (A , B) - (C + A)   F Aritmética Álgebra 26 x 22 V. 3 ! (A + B) - (A + C)   V 27 22. 26 + x + 22 + 27 = 100 a) 7 x ! B / x " N x = 25 2 ` Llevan solo uno de los cursos: b) 6 x ! B; 3x < 49 26 + 22 = 48 alumnos 3 c) 7 x ! B / x !N i) + d) 6 x ! B; x + 1 ! Z A B 6 x 5 23. a) Si A y B son comparables y n(B - A) = 6 & A1B & n(A , B) = n(B) = 9 2n(A - B) - 1 = 63 & n(A - B) = 6 n(B - A) = n(B) - n(A) n(A , B) = 11 & 6 + x + 5 = 11 6 = 9 - n(A) & x=0 ` n(A) = 3 ` n(A + B) = x = 0 b) 2a + 3b = 18 / 9b - 7a = 15 Razonamiento y demostración & a=3 b=4 24. [(A , C) - B] , [B - (A , C)] ` a . b = 12 Clave B c) 2x - 1 = 7 / 7 = 3y + 1 25. I. Si; A = Q & n[P(A)] = 1 (V) x = 4 6 = 3y Demostración: y=2 P(A) = {Q} posee un elemento ` x-y=2 ` n[P(A)] = 1 d) II. Si A es un conjunto unitario: F B & n[P(A)] = 1 (F) 8 x 24 Demostración: n[P(A)] = 2n(A) 72 Si A es un conjunto unitario posee solo un elemento. 72 + 32 + x = 120 ` n[P(A)] = 21 = 2 x = 16 8 Intelectum 4.° III. Si A = B & n(A , B) = n(A + B) (V) 29. Del enunciado: U Demostración: M(42) T(38) A , B = A , (A) = A ...(1) A + B = A + (A) = A ...(2) 11 15 9 5 Luego: (1) es igual a (2). 11 9 & (A , B) = (A + B) 5 ` n(A , B) = n(A + B) 5 N(30) IV. Si A + B = Q & n(A , B) = n(A) + n(B) (V) El n.° total de ómnibus, será: Demostración: 42 + 9 + 9 + 5 + 5 = 70 Por propiedad: n(A , B) = n(A) + n(B) - n(A + B) Por lo tanto, en total hay 70 ómnibus. Clave E Como: A + B = Q & n(A + B) = 0 & n(A , B) = n(A) + n(B) 30. 170 ` Son verdaderas: I, III, IV N F Clave C 9m 8m 60 Resolución de problemas 12m 26. Con los datos del problema se tiene: 30 6m A(10) B(12) 10 3 T 4 2 2 Luego: 1 5 9m + 8m + 12m + 30 + 60 + 6m + 10 = 170 6 3       35m + 100 = 170 C       35m = 70 26   &m=2 ` n(C’) = 4 + 3 + 2 + 3 = 12 Piden: 9m + 8m Clave E ` 9m + 8m = 17(2) = 34 27. Clave E Tenían No tenían Total 31. reloj reloj H o Hombres 60 m 70 M B Edad 20 Edad 21 R Mujeres a n 30 E S 6 a b 75 25 100 M m b U n & a + 60 = 75 60 + m = 70 a + n = 30 J E     a = 15 m = 10 15 + n = 30 R E n = 15 S Piden el n.° de mujeres que tenían reloj: a 60     ` a = 15 Del enunciado: Clave C ▪▪ 18 hombres no tienen 21 años.         28.    18 = a + 6 & a = 12 39 A X ▪▪ 22 hombres no tienen 20 años. 5n a 6n        n    22 = a + b & b = 10 a a       12 3n Piden: n.° de mujeres que no tienen 20 años G = (m + n) Luego: 5n + a + a + n + 6n + a + 3n = 39 Del gráfico: 6 + a + b + b + m + n = 60          15n + 3a = 39 6 + 12 + 10 + 10 + m + n = 60                    & 5n + a = 13   ` m + n = 22 Piden: 5n + a = 13 Clave B Clave B ARITMÉTICA - SOLUCIONARIO UNIDAD 1 9 NUMERACIÓN PRACTIQUEMOS 9. xy(9) = yx(7) Nivel 1 (página 18) Unidad 1 II. F 9x + y = 7y + x Comunicación matemática Como 0 < x < 2 e y < 2; además x ! y; 8x = 6y entonces: 4x = 3y 1. x = 1; y = 0 2. Del enunciado: Luego: x 3 & x = 3 x = 6 = y 4 y = 4 y = 8 A = {4a(2b); 111(2)} = {4a(2b); 7} 1100(2) = 1 # 23 + 1 # 22 = 12 Pero: yx(7) & y < 7 / x < 7 B = {26; 1b(4)} III. F &x=3/y=4 1331(x) = 1 # x3 + 3 # x2 + 3 # x + 1 Por dato A = B, entonces: = x3 + 3x2 + 3x + 1 Piden: x + y = 3 + 4 = 7 1b(4) = 7 = (x + 1)3 Clave C 4 + b = 7 &b=3 ab(n) 5. ab^n h = 33 & ab(n) = 3 10. 1000(x) = 2ab 4a(2b) = 26 1 . x3 + 0 . x2 + 0 . x + 0 = 2ab I. F Luego: 4a(2 # 3) = 26 Si n = 2 x3 = 2ab 3 = 2 # 1 + 1 = 11(2) ...(I) El único valor que puede tomar “x” es: 6 4 # 6 + a = 26 Entonces: 24 + a = 26 II. V 63 = 216 SI n = 3: & a=2 3 = 3 # 1 + 0 = 10(3) `x=6 Clave D Nos piden: III. V a + b = 2 + 3 = 5 De (I). Nivel 2 (página 18) Unidad 1 Clave C Clave E Comunicación matemática 11. 3. En un cuadrado se cumple: Resolución de problemas 12. 6. 1000n + 100n + 10n + 3 = 9[(n + 1)n(n - 1)] x Razonamiento y demostración 9[(n + 1)n(n - 1)] = 1110n + 3 13. I. V x 2 &n=8 ab(5) = 2 # cc () Clave D Si c = 1: ab(5) = 22 () Si c = 2: ab5 = 44 7. Llevamos a base 10: h Luego: & 121(n) = 1 . n2 + 2n + 1 Pero: (a - 1)0a(b) = ab(4) = n2 + 2n + 1 ab(5) < 52 = 25 & 1 < a < b < 4 = (n + 1)2 . 1 ab(5) = 22 = 5 # 4 + 2 = 42(5) . . 2 3 Sabemos: an2 + 0n + 0 = a00(n) Por lo tanto: Nos piden: Reemplazando: a+b+c=4+2+1=7 a2 + b = 22 + 3 = 7 & (n + 1)2 . 1 + 0(n + 1) + 0 II. V Clave B & 100(n + 1) Por descomposición polinómica: ` 121(n) = 100(n + 1) a1(n) = an + 1 Razonamiento y demostración 4. I. V Piden: S de cifras = 1 + 0 + 0 = 1 (a - 1)(n - 1)(n) = (a - 1) n + n - 1 = an - 1 Si a + b + c = d; entonces Clave D 100(an) = (an)2 dm = dm(d + a + b + c) 8. Si: N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 45 En la expresión: 1a 1b Sabemos: a1(n) # (a - 1)(n - 1)(n) + 1 = (an + 1) # (an - 1) + 1 1c(d) a . m4 + b . m3 + c . m2 + d . m + e = abcde(m) = (an)2 - 1 + 1 = dm(d + d) = (an)2 Reemplazando: = dm(2d) = d . 2d + m $ 2d = 100(an) N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 45 Luego: III. V N = 2 . 84 + 5 . 83 + 4 . 82 + 5 . 8 + 5 ab(4) + xy(3) = 23 2d # dm 1a N = 25455(8) 1b 1c(d) Clave C (42 - 1)máx. (32 - 1)máx. 10 Intelectum 4.° 3. . .1)2 + 6 2 21.(I) El menor valor de n es 9. n > 5 por estar en la base. 19. Luego: &5<n<7 II.28 . Analizamos: ^a + 1h^a . 32 + 0 .b=4. .06 < n # 65 2a = 14 7a = xy(3) + 28 9 # n # 65  ` a = 7 & a > 4 . I.2p) = n & a + 1 < 3 . 1n = 1x.. V II. Clave E ARITMÉTICA . 15 + 8 = 23 18. . entonces: & 201(3) = bc 0 < a < 4.1)2 + 6 Nivel 3 (página 19) Unidad 1 ` x j^x + 2h 5 2(73a) = a(n . x > 0 1n 2000 = bcdc & b = 2. 4 3 13 22. 3. V I.4b(7) = xy(3) I. 3 + 1 = bc & 18 + 1 = bc & bc = 19 24. es par a = 1 10a + b + 6a = 66 si su cifra de menor orden es par. Por descomposición: ab(7) .1 j^2m + 1h ^6 h Clave D Piden: a.SOLUCIONARIO UNIDAD 1 11 . a . y = 1 & n < 7 32 9 & (a + y)x = (5 + 1)2 = 36 Además.1 < 3 . 4 m + n = 2 + 6 = 8 ` a=1 III. x = 2. d = 0 4 < a < 5. a es par 16a + b = 66 .28 & a = 5 1n n veces Piden: Luego: 10 + n2 = 1x (por propiedad) a + b + c + d = 5 + 2 + 0 + 0 = 7 35 . 2. . xy(3) = 22(3) 3 2 xy(3) < 9 7 a + 7 a + 7a + a = bcdc xy(3) + 28 < 37 Luego: 400a = bcdc a + x = b + y & a puede tomar valores: 1. a < 3 a < 2 a < 4 a<3 &m=2 0 Es una cifra Piden: &n=0 & a < 2. Descomponiendo: . a < 5. 2 4 2 &  2 . 5. En el numeral: &a=4 / b=2 x x+m ` a + b + c = 1 + 1 + 9 = 11 ` m j` m . 45m(n) = 341(7) 12 1 45m > 341 Por lo tanto: 22 4 a = 5.28 = xy(3) a + 2 + a = 16 n # 65 < n2 & 8. 5 + 1 n # ab(n) < n2 7a .1h a (3) 174 + m = 176 12(m . F & ab(n) = 65 17..28 = xy(3) 10 + n2 = 10 + x Clave A 7 = xy(3) n2 = x 21(3) = xy(3) . V 1a(a + 2) = 3 . Comunicación matemática 146a = a(n .. c = 0. Del enunciado: Clave C Luego: (2a)82 + (2a)8 + 2a = a(n . aaaa(7) = bcdc & a < 7 Sabemos que: & ab(4) = 33(3). 1 & m = 2 16. ab + 6a = 66 Sabemos que un numeral en base par. ` a + n = 16 & c 2 m^2 + 2h 5 = 145(6) = 65 Razonamiento y demostración 2 (6) Clave C 23.. V Clave B aba(4) = (2x)6 Reemplazando: 20.II 3 2 3 2 El valor que cumple es: a = 5 400(5) = bcdc De (I) y (II): 14.2=8 m ! 0. 6 7a < 37 . F &n=6 mnp(5) = pnm(7) Clave A Reemplazando: 25m + 5n + p = 49p + 7n + m Resolución de problemas 45m(6) = 341(7) 24m = 48p + 2n 2 2 6 (4) + 6(5) + m = 7 (3) + 7(4) + 1 12m = 24p + n 15. F III. 4.1)2 + 6 2 ^6 h . er er o o Clave C ab(11) = 5(10)(11) ` El número de cifras es 9.84 a b c (7) Si: a + b = 1 & a = 1 y b = 0 135 N = 7 # 86 + (8 + 3) # 83 + 8 # 4 + 3 153 10(n) = 65 + (8 # 2 + 1) # 82 .2) 318 = an3 + an2 + bn + b ` a + b + c = 15 (x . 2.1)2(x . N = 7 # 86 + 11 # 83 + 35 + 17 # 82 .° 12 Intelectum 4.° 3. a b c m<a<b<c<7 Clave A 1 0 0 3<a<b<c<7 (x . ccc(7). 2baa(c) Clave A N = 7005143(8) a < b 3 < a c<7 a<c   b<c ` 7 + 0 + 0 + 5 + 1 + 4 + 3 = 20 30. 7 318 = an2(n + 1) + b(n + 1) Clave B x-1=8 6 # 53 = (n + 1)(an2 + b) &x=9 26. II.° 3.2) 28. e d c b a Clave B Lugar 1.   5. +8#4+3 am4(b). N = 7 # 86 + 0 #   85 + 0 # 84 + 5 # 83 + 1 #   82 entonces: & Hay 6 numerales. b = 3 ab(11) = 65 = 5x Orden: __ __ __ __ __ 4   __ 3 __ 2   __ 1 __ 0 ` a + b + n = 10 ab(11) = 5 # 11 + 10 Lugar: 1. F 27. c = 6 (x .° lugar n = 5. m31(a). a = 2. abc(7): a ! b ! c & a + b = 5 + 10 = 15 Clave D III.    5 4 3 2 1 0 Orden ` El sistema es el nonario.   4.° orden = 5.er 2. b = 5.er 4.84 315 n = 65 351 N = 7 # 86 + 84 + 3 # 83 + 8 # 4 + 3 531 Resolución de problemas + 2 # 83 + 82 . Sabemos: .2) = 448 = 64 .° 5. Si los siguientes numerales están bien escritos.1)(x .1)(x .° .1)(x .1)(x .84 513 25. F Dato: 4. 29. 318 = aabb(n) & a = 4. Como N tiene 3 cifras. . (10m m+1 (n) ) = 10(n) . 453 + 31 = 484 Razonamiento y demostración 4.. 1 + 2 + 3 + .. 997 + 27 = 1024 = 32 mnp + npm + pmn 1 4 0 4 3 II. n2 + 6n. 0(n) Resolución de problemas n2 + 4n + 7. V La cifra de las decenas es 9.10m (n) a74b+ 2n .t1 ` n.7 = n + 5 & n = 12 c7a r = n + 5 = 17 = 10m (n) # [10(n) . + n = a5 5 & (ab = 10) n (n + 1) 10 000 . a74b + c7a + 5ba2 = bba68 Ordenando los sumandos: Luego: 2n . + 71 = 2556 II.7 n+5 C. (nm) = C.A. 2. I. F III. n2 + 7n + 5 m ceros 6.(C.. 5152 Nivel 2 (página 22) Unidad 1 2.1) 5ba2 Luego: = nm # (n ..(abcd)) = 64 ab # (ab + 1) 2 1 & = 5m 36 2 III. 71 ..mn(5) = 25 .. A. (mn(5)) # 20 a3 # bc = de3 3353 0.. I.(abcd) = 36 1 + 2 + 3 + . V Además: Clave A abc . . 7. abc # -20 # mn(5) . ab # ba = 1207 1 + 7 + c + 1 = 15 111 ▪▪ c + 2 + 1 = 7 & c = 4 c + 9 = 15 ab # ba = 71 # 17. 3 + 1 = 4 npm II. 4.A. A. 160n.. A. 12 + 22 + 32 + . 10 5 Clave B Sabemos que: 5 1 m + 1 cifras t1 t2 t 3 tn 10. F . OPERACIONES BÁSICAS EN EL CONJUNTO Z+ PRACTIQUEMOS &b=1/ a=5 tn . (10m (n) ).17 = 54 7. 15 # 17 # 14 = 3570 abc ..1) t1 = 147(12) = 199 / tn = 305(12) = 437 bba68 Clave E ARITMÉTICA . V × × × × × × × × × ab # (ab + 1) # 5 = 5mn & ab # (ab + 1) # 5 = 5m0 466546 II. I. cba + ▪▪ a + 2 + 1 + 1 = 9 & a = 5 Comunicación matemática 11568 222 ▪▪ b + 2 + 1 + 5 = .25 < 0 y=9 cba 0 < 25 . 5 + 7 + 4 = 16 & abc .cba = xyz 5 # mn(5) < 52 210 # orden 8. 9 4311 II. 997 . n > 2. A.A. F 1916 C.A. + 172 = 1785 III. V 1998 Razonamiento y demostración abc – cba = xy Por lo tanto: x = 9 = y 13.5 & b = 7 11. F .cba = mnp 12..mn(5) # 20 5. C. 147n. C. 4 5 3# 3. n ! Z + . 175n. m. 57 – 54 = 3 I. C. Como: II. 1 + 4 + 0 + 4 + 3 = 12 pmn III. (mn(5)) = 10(25) .° términos = + 1 = 14 + 1 = 15 Nivel 1 (página 22) Unidad 1 r 5 7 4 1 + Clave C Comunicación matemática c75 1. A.(1) 4 5 3 Luego: Piden: 1 3 5 9 I... 8. 3. 305n 10m (n) = 1000 . V ` a + b + c + d = 28 C.(N) = 103 – N = 3 & N = 997 & m + p + n = 18 . entonces: Entonces: m + p = 9 / n = 9 3 1 C.36 + 18 = 31 + 18 = 49 Ordenando los sumandos y utilizando (1): III.. 6..abcd = 36 m+n=5+0=5 = a5 2 & abcd = 9964 n(n + 1) = 2 # a0 + 10 III. par 0 mn(4) – nm(4) = pq(4) Clave B &p+q=3 ab # (ab + 1) = 2 # 5m 1 2 9.mnp = cba III. 1. 5.25 + 625 = 1597 mnp+ I.mn(5) II. 997 .SOLUCIONARIO UNIDAD 1 13 . (del gráfico a > b) a1 _____ &c=6 ba9 Luego: Clave C I.. . 39 ..7226 8 1 b=a+c=9 1c(4) + d = xy(4) 15N = 19 980 9 2 b = 11 (no cumple) N = 1332 d = 1 y c = 0: 10(4) + 1 =11(4)  ` a2 + b2 + c2 = 82 + 92 + 12 = 146 ` Scifras de N es 9. 4 # 1 # 3 = 12 r<d 256 = 4de II.q' = 0 a = 2 3 7 1 q = q' 269 # 24 = 5736 II. entonces:   19 13 Comunicación matemática 151 717 D = dq + r 21.a00b0 .d 1 2 5 3 1 6 (7) Sabemos que: 1000 = 700 + 4de + 44 I.541 .r' 25 11 22.. .. 43N ... a b + Clave D 1c(4) + d = ba(4) ...de) + 19 (+) r' = r . V ▪▪ 1000 ..cba = mn3 Clave A 1c(4) + d = xy(4) & m + 3 = 9. donde x + y =3 &b+c=9 k términos 2k términos & 1c(4) + d = xy(4) Como: 12 & k + 2 = 39 .a = 2 & b . I. .abc = 7(100 .c = m + 1 ..107 5 1 4 6 3 5 3 0 = d(q .r' . 39 .... entonces: Clave B 5 3 D = dq + r .a72(b + 2)6 d = 2 y c = 2: 12(4) + 2 = 20(4)  m = 6 / a . 39 239 .(II) Si c = d. 93 3 + b = 7 2 2 20(4) &b=4 4 términos 8 términos 3 3 22(4) c = 5 n = 15 términos Luego: Piden: b-a=x+1 Piden: b . V 17. entonces: 16. entonces: & a = 3 r r Resolviendo (I) y (II): 1c(4) + c = xy(4) Además: .d ▪▪ abc de . 14 Intelectum 4.(2) 4 1 3(7) Si d = d' y q' = q + 1 19 7 2 2 2(7) D = dq + r De (1) y (2): 1 1 2 6(7) D = dq + d + r' abc = 11de + 25 1 1 2 6(7) . 22 + 125 = 147 r' < 0 Reemplazando en (1): abc = 11(64) + 25 = 729 Razonamiento y demostración Resolución de problemas ` Scifras = 10 + 18 = 28 23.28N = (a + 2)72b6 . .1 . … .- D = dq + d + r' 18. entonces: 15N = 27 206 . 9 # 7 # 1 = 63 0 = r . k = 4 / r = 6 a + b = 7 1 1 12(4) : 9 . ab(4) + 1c(4) + d = ba(4) 15.14. F ` S = 765 Si 0 < d < 3.. entonces: b = 3 3 7 6 q . .7226) Si 0 < d < 3.. n = 9 / a .(1) d = 1 y c = 2: 12(4) + 1 =13(4)  De (1): 20. Del enunciado: I. . 93 xy(4). .a = 2c a2 + b2 + c2 = 32 + 42 + 52 = 50 tn + t1 Clave E S = c m n = c 93 + 9 m 15 = 765 b = 2c + a 2 2 II. V 15N = (a00b0 + 27206 .. abc # abc # Nivel 3 (página 23) Unidad 1 Si d = d' y r = r'.d <0 & de = 64 III.ab(4) b c 79 19. … . d = 2 y c = 0: 10(4) + 2 = 12(4) Clave E Clave B c puede ser igual a cero. (–) II. (–) 0 = r – d .. III.(I) 21 a + b + c = 12 r r a + 9 = 12 I.9 + 1 & k = 30 .1 . abc .de . F ` 7 + 3 + 6 = 16 5 3 Si d = d' y q' = q + 1. : 9 .r' 1 1 2 6(7) 1000 .(1) III.c = 7 III. 5 + 1 + 4 + 6 + 3 = 19 . V & 2k + 2 = 93 -39 + 1 & 2k = 54 . (–) D = dq' + r .q') c = 9 4 7 7 9 7 1 Como d > 0. 2 + 2 + 1 + 5 + 3 + 1 + 6 + 2 = 22 & r ...abc 100 . 5 + 3 = 8 d = r .° . A..1) = 66 804 3 ^n . entonces: 56 & N = par + x .99) 5. 191} 2 N = 5 # 10 + 0 # 10 + 2 # 10 + 7 # 10n . A..b ` x es par. = 66 865 4 2 Por descomposición polinómica: 926 5 (n . 743 2 1 + 2 + 3 + 4 + .a 12a + 7 = .(2) 1e . jos = ue # 6d + du a = 2 & b = 0. (no cumple) a = 4 & b = 0 & 1 número 2.° cifras = 9(1) + 90(2) + (abc ..0 Clave D Reemplazando en (1): 3 666(8) = 306(n + 1) Resolución de problemas ` a + b = 10 25.0 C. 1 & 2 números 1. a (a + b) b & abc = 175 10 101(xy) = 13 .. (10452) = 89548 $ Scifras = 34 3. r q .. (xy)2 Clave C 76 = abc .. a2.x 45 & D .x = 45q .4) + r 4. n Además: n es impar.. 2.. NUI + NIU + NU = UNI Por descomposición polinómica: Clave C 6 ..99 Clave E (n + 3) términos n. xy a = 1 & b = 0. ab6 # Luego: N = b(2p)r . 82 + 6 .. (xy)2 27. 1.1h .. V 12b + 3 = . + a2k 987 6 11 .24.. y . + y(2p) + x II.yx(2p) Como du < ue. n+2 n+1 n & x ! {148... A.00 abc = 982 9 90 abc . . 149. 2 & 3 números MARATÓN MATEMÁTICA (página 25) Si u = 2.00 Clave D 9 8. F & N = par . (8916) = 1084 $ Scifras = 13 11b + 3 = . (12110) = 87890 $ Scifras = 32 7 a > 2 y (2a)(2a)(2a)(8) = a06(n + 1) . + impar ` n = 12 Por lo tanto: (2k) veces Clave C I.. abc = bc ..2 + . 11 + 80 (bc > 80) . (15792) = 84208 $ Scifras = 22 a > 2 / 2a < 8 & a = 3 11a + 7 = .(1) 987 .. . 15. 99 100 .180 + r 2 4 192 . 150.. Del enunciado: Entonces: u = 1 1 + 2 + 3 + 4 = 10 números N = (a1) (a2) . y . x . y . abc Por lo tanto: & C.. + (n . D 45 & D = 45q + 12 100N + 5I = 44U ` n = 11 5(20N + I) = 44U 12 q Clave D & U = 5 / 20N + I = 44 D .99 10 000(xy) + 100(xy) + xy = 13 .1) .. + par + x Si j = 9.. a1. (a2k) = bc. y . (xy)2 (n) Si: n = 5 ` a + b + c = 13 10 101 = 13 ... entonces: d = 1 / e > 1 n-1 (n)   Luego: De lo anterior se deduce: r cifras jos = 1e # 61 + 11 a (a + b) b Donde: (n) . 16 32 ______ Luego: De (1) y (2): 15 + 16 = 31 . = 1200 a = 3 & b = 0.. a-b=1 N 8 7 (No) = 5027300.x = 45(q .743 = 244 & Scifras = 10 28.. (bc > 80) (Sí) (n + 3) términos 30. x .b) = c + 8 26.. a2k: son cifras impares. A. A. Ordenando convenientemente a N: .1 + c(2p)r . y ..4 (45q + 12) .1 + a2(n)2k .ab6 par = par + x 6b + 3 + 6b = ..2 ` El menor número será 148. V ab6 N = par + par + .. ...(N) = 4972700..... III... 8 + 6 = 3(n + 1)2 + 6 210N + 12U + 11I = 100U + 10N + I 432 = 3(n +1)2 200N + 10I = 88U 144 = (n + 1)2 29. xyxyxy = 13 .(1) C.99)3 ` Scifras = 29 417 = 189 + 3(abc . A. n = 132 N = a1(n)2k .... xy ARITMÉTICA .. 1.SOLUCIONARIO UNIDAD 1 15 .x x > 147 10(a .2 + ...b Clave C C. Por dato: C.. 9 10 .. x ..x = r 100a + 10b + c = 11(10b + c) + 80 100a + 10b + c = 110b + 11c + 80 ` U + N + I = 11 Sabemos: d > r 100a = 100b + 10c + 80 Clave A 10a = 10b + c + 8 45 > 192 .. x . entonces: (2e # 6d)mín.. (13890) = 86110 $ Scifras = 16 (6a + 4) + 3 + (6a) = .a De (1): C.1 + 3 # 10n . 3 & 4 números Clave E 777 = x ... 12 = 132 N = impar + impar + . 1 . 133 1 mnp + npm + pmn II. (p / +q) & [(m T r) 0 +r] / F 10.. 35 .er elemento • (m T r) 0 +r / F 7 + c = 9 &c = 2 .2 = 5 F F Por lo tanto la suma del 2. p m n Clave B 1 9 9 8 F Por lo tanto: la cifra de las decenas es 9..(2) 10 . I. 2. 2..° . 5 . 5. 2. 4.c = 7 .. 14 .. No es verdad que: 4 4 4 4 4 2 + 2 = 5. m y r 7.c) = (b + 2)(c + 3)(a + 5) Clave A & 9 . r = V Clave E Por lo tanto. q / F Reemplazamos (1) en (4): 3. entonces: 4 + 4 = 8 Entonces:   {1. Luego: V 0 F / V 6. Si: 3 + 1 = 7.. 7 . 2 .(1) 4 4 4 4 4 Luego: F & V / V Piden: A = ' 7 . & n(A) = 19 / máx... xy Ordenamos los sumandos y utilizamos (1): III.(1) 8. . 3 .° elemento `a + b .. .(3) V F 1. . Como: son: VFVV. 3 . . . 4 + 4 = 10.a)(9 .cba = mnp 4x < 20 9. CA(abc) = (b + 2)(c + 3)(a + 5) Clave A (9 .° es: 6 + 9 = 15 Clave C Entonces: m / V. 3. 11. los valores de verdad de p. y .° y 3.c = a + 5 & a + c = 5 .b)(10 . 21 ..(4) Entonces: p / V . 37 = x ..mnp = cba x<5 Clave B & abc .b = c + 3 & b + c = 6 .. x < 5} abc .a = b + 2 & a + b = 7 . q. 19} m + p = 9 /n = 9 F V & x ! ' 1 . si y solo si. (2) y (3): & A = {3. elemento de A es: 133 F + F 4 Luego: a(F + F) / a(V) / F Clave E 16 Intelectum 4.. Madrid está en España o    m n p + V 0 &x = 3 / y = 7 n p m Piden: x + y = 3 + 7 = 10 Londres está en Francia. 9} • p / +q / V 2(a + b + c) = 18 & a + b + c = 9 . 3 Sumamos (1)... A = {3x / x ! N / x2 >16} 9 .. 19 1 & & m + p + n = 18 . 6. A = {7x / 4x ! Z+.. . F º ° + 1) + b(11 a(11 ° . 2 4 cc = 7 Recuerda: ° Todo número Z+ es múltiplo de sus divisores Z+. V 4c + 6 = 7º Si n = 3 y m = 5 Luego: 2c + 3 = 7º n ! {1. 4.4 = 7º 35 # N # 34 . I. I. V 2c .7 = 7º N = xyzw(3) = 5° + 3 = 5k + 3.1)2 a(11 Luego: ab = 9° ° . 3. 6. 4.b + c .(V) 4. 8 ° +1 N + a° + b = a° + b ` a=8 11 N = a° Clave B ° + 1 11 11 ° +1 ° + 6 11 ° + 2 11 ° +6 III.d + e = 11 ° 9. b = 2.(F) Razonamiento y demostración ° 13..d + e = 11 ° -   + ` a + c + e . 6.8 # k # 15. 13 # 5 = 65 + d(11 II. 2. V Nivel 2 (página 30) Unidad 2 11 c = a.1) + e = 11 ° 8.2) = 7º 27 # 5k + 3 # 80 N + 100(a) + _a 2 i b_n i = abca (n) c .. Por dato: ` a2 + b2 + c2 = 36 + 4 + 1 = 41 N + a2x + a2n + b = a2n + a2 + b º 2 º 2 ab # 1 _a + 7 i Clave A N+ a = a = c(c + d) d º 2 3. N = a2 ab # 1(a +7) = 2(110c + 11d) ° 3° .3)(5 + 7) ° 11 ° ! 11 ° 6° . A) (17) # 0 = 0 =17 . 15a76 = 9 º z = 0..(V) Por descomposición polinómica: 11(a + b) = 9° 20 ° a # 104 + b # 103 + c # 102 + d # 10 + e = 11 & a + b = 9° Clave D ° .(5° + 3) aa # 1(a + 7) = 22cd 3° .3 = 24 + 12 ° ° Entonces: a = 2 & 2 # 19 = 2cd Clave B 7.. 15 N = n° Clave E 11 valores ARITMÉTICA .. c = 1 N + a2x + a2n + b = ab(an + a) 12.3 8° + 3 = 24 + 3 5° + 3 .b . k ! Z+ 5. 2.(V) Razonamiento matemático Clave D ° # 7 = 13 C) (12) ° .2 = 7º 24 # 5k # 77 N + a2 + n° + b = ab(n° + a) &c = 2 0 c = 9 4. I.1)3 + c (11 ° . 2. y + z = 0 entonces y = z = 0.3 = 24 5° . 7 &a=b ° -3 ° + 9 8° .3 = 5° + 2 a # 1(a + 7) = 2cd ° +2 Clave D Si a = 1: 1 # 18 = 2 # 9 (no cumple) ° + 9 8° .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 17 ...d = 11 Entonces: Divisores de 12: 1.3 8° + 3 5° . entonces: Nivel 1 (página 30) Unidad 2 1 + 5 + a + 7 + 6 = 9º Comunicación matemática N + xy0(a) + _a 2 i b_n i = abca a + 19 = 9º (n) 1. abcde = 11 11a + 11b = 9° E) 23 = 4° + 3 . n + b = ab (cn + a) a + 1 = 9º N + a° + b = a(cn + a) + b . 5. . luego: Comunicación matemática ° + 2 11 ° + 3 11 ° + 8 11 ° +9 11 N + x00(a) + _a 2 i b_n i = abaa(n) 11. un valor de c es 9..1) + c (11 ° + 1) .1 8° + 2 + 6° . Unidad 2 TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD PRACTIQUEMOS II.4 N + n° + a2 + b = n° + a2 + b Por lo tanto. 3.63 12 Luego: 5° ..d + e = 11 II.1 8° + 2 = 24 + 2 Resolución de problemas ab # 1(a + 7) = 22cd ° ° ° 6.1 x = 1 y y = z = 0.2 = 7º 14. V ` 6 + 5 = 11 a(11 ° + (-1)3) + c(11 ° + (-1)4) + b(11 ° + (-1)2) Recordar: (# impar)(# par) = 8° + 1 ° Clave B . entonces: 2(c . F 10.(V) ° ° 4 = 13 Por lo tanto: a + b + c + d = 2 + 2 + 1 + 9 = 14 B) (13) .. 12 c + 3c + 8 . & a = 6. -3 ..1)4 + b # (11 ° .. 6. 12} 2c + 3 . 1231 a . V ab + ba = 10a + b + 10b + a = 9° D) 19 = 8° + 1 . N + a° + a2 . (5 + 3)(5 . 35 ° ° ° 20.. 7x + 12y = 236 Si: x = y = z = 2 y n = m .1 > 5: a + 12 = 3° 7° + 5y = 7° + 5 ° +3 N = 222w(m .x) = 35 2 = 7° + 1 ° & 2y . F & (a + b)máx. se cumple: a + 4 = 3° & a + 1 = 3° IV. 15.3 = 11 23. + 10x = 9 ° Clave D (10 + x) + (20 + x) + (30 + x) + .º impar)(n. 1x + 2x + 3x + . abc7(9) # xyz21(3) = 9 + 4 (impar)par = 8° + 1 .(3) 18 Intelectum 4. (ccabba(11) + 1) # 1111222334(13) II.1) = m a = 3° 5y = 7° + 5 ° +w-2+2-2= m ° +3 m . 2. 2 791 749 = 8 + 1 (por ejemplo) A = {n ! Z+ / n . 5(x + 4) + 72014 = 7 `x = 3 & 21y + 7x = 5° # 7 ° Clave E 7 7° ° & 5y + x = 7° 20y + 4x = 28 Como: 5(x + 4) = 7° 19.. F Si b = 6. + 10) + 10x = 9° 4y . N = 1 + 2 + 3 + .. 10 .. 5. F 5 ° Sea B = {5. y = 7° + 1 ° +5 3 w = m y0 = 1 6 & w = 5 (w 1 m . 2 3 (menor valor positivo) `x=3 210 = 207 + 3 = 9° + 3 Luego: Clave B ° 25y + 5x = 35 ` Residuo = 3 (-) ° 21y + 7x = 35 16.. I.º par) = 8° + 1 A = {1.} & a + b + 3 + b = 3° r3 = 7° + 6 Luego: a + 2b = 3° .6 + x . 7429 = 17 # 19 # 23 ° ! 12 31 & ab3b = 4 ° 3b = 4º &b = 2 0 b = 6 .4 + 3 = 11 11 º Razonamiento y demostración Clave A º x . 10. I.(2) 53 = 7° + 6 I. 3 4 x 6 7 = 11 + 3 1 20 8 & x = 9° + 3 º 3 4 x 6 4 = 11 2 8 15 x = 3 (x 1 10) +-+-+ º  + 4 .x = 35 550 + x = 9° ` Residuo = 1 9° + 1 + x = 9° Clave E II. V De (1): (7° + 5 )3 = 7° + 6 6 x ! A.. II. k = 30. n ! Z+} ab3b = 3° III. x2 = 8° + 1. F Para n = 0 no existe un k ! Z+ tal que 1 + x = 9° Nivel 3 (página 31) Unidad 2 k 1 n. de (3) y (4): (a + b)máx. 11 + (9° + 1)x = 9° 2(2y . 30} °3 Para n = 30 º II. ya que x siempre Si b = 2. = 10 .. reemplazando en (2): ° es impar. 35. 25.. 3. 4.. = 15 t x y N = 9° + x + y + z + w = 9° + 3 Clave D 0 32 1 º x + 9° = 9° + 3 18.(4) x0 = 32 N = xyzw(10) = 9° + 3 Por lo tanto..1) 9 7x + 12 = 236 III. 25} 8 ° + 1) # (12 ° + 8) = (12 12 + 8 5 + 15 + 25 + 1 = 46 ! 4° & (a + b)máx.° .. F Clave B 2 ° 21.. 2 V. . ab3b = 12 Recordar: (n.. 45. + (100 + x) = 9° 4y . k ! Z} ° 4° 17. 15.2x = 35° = 7° + 15 = 7° + 7° + 1 ° 10 . (7° + r)3 = 7° + r3 = 7° + 6 A = {5. A = {x/x = 10n + 5.. 15. 6. reemplazando en (2): 22...(1) ° ó 23) ° Clave D 7429 = 17 (un caso puede ser 19 24.2x = 35 ° . = 15 . V Resolución de problemas º & x = 11 + 3 ° & 3y + x = 5° 9y + 3x = 15 ° 15.. &x=8 Comunicación matemática III. + 20 & x + 4 = 7° & 25y + 5x = 7° # 5 N = 20 # 21 & N = 210 . 17 # 54 = (7 + 3)( 7 + 5) 10(1 + 2 + 3 + .. 18.. 45x + 21y + 35z = 630 . = 20 ° 2b ..6 = 11 x = 10° +5 Clave A ° +5 ° b . a4a4a = 8 Reemplazando (1) en (2): 9° & r = 0 & a4a = 8° a(a + 3 . .a = 11 Luego: Si x. p ! A.a = 11 Entonces: x + p = 10 6 & b ...(2) ° 25.6) = 4° & a(b .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 19 .1 . 300 (U + N + I) = 9 + r ° + 10 = 10 ° ° +3 b .6) = 11 &x=7 & 9° + 7 = 9° + x & x = 7 Clave E (y = 10 / z = 3) 0 (y = 5 / z = 6) ARITMÉTICA .(2) 227 = 3° + 2 . . ° 9° + 4(3 + 2) 1024 ° & 3bcd = 3135 & 135 + Reemplazando en (2): =9+x ° 9° + 43 + 2 1024 3300 300 9x + 21k + 7 ..a .2a .. < k < 24.a ...a = 3 .(2) 3º + 3º + (3º + 1)z = 3º bcd & z = 3m.(3) 3465 465 3x + 7k + 7m = 42 .(3) Analizando las potencias de 2 respecto al 3630 630 3x + 7º + 7º = 7º módulo 3..24. III.. entonces (x + y + z)máx.3 = 11 p = 10 ° 29. 5k + 35z = 630 43 = 9° + 1 $ 43 = 9° + 1 19 # k # 24 9x + 21k + 7z = 126 .. n ! Z & 22 = 3° + 1 2impar = 3° + 1 Por lo tanto: La suma de todos los números bcd es 3285. . Reemplazando en (3): Reemplazando en (3): Clave D 3(7n) + 7k + 7m = 42 ° ° 3n + k + m = 6 9° + 43 + 3 + 2 = 9° + x 4° ° ° 27.3) = 4° ° & 9 + n + 7 + 8 . V ° & b + b ..3) = 4° n + 20 = 11 ° n + 9 = 11 101a + 8° = 8°  5 & n = 2 101a = 8° Clave A &b=8 a = 8° ` a + b = 13 ° 30. con respecto al 26.. 9° + 43 + 2 = 9° + x ° 1 2 1 11 1 1 2 9° + 7 -+. (9 + 4)227 = 9° + x 1024 `a=8 Clave A °9 + 42271024 = 9° + x .(1) Resolución de problemas 1800 = 9° + r ° aba(b ..6) = 44 . + ° a b a (b . . y = 5° Como: ° 3000 < 3bcd < 4000 & y = 5k. k ! Z 41 = 9° + 4 $ 43 + 1 = 9° + 4 ° Reemplazando en (1): g=3 42 = 9° + 7 $ 43 + 2 = 9° + 7 3000 < 165k < 4000 ° 18... m ! Z Reemplazando (2) en (1): . tenemos: 3795 795 3x = 7º 3960 960 x = 7º 21 = 3° + 2 2par = 3° + 2 3285 g=2 & x = 7n. 45x + 21 .(1) Clave C 28.(1) ° Analizando las potencias de 4. 3m = 126 = 9 + x ..6) = 4 .6 .3 = 11 90n1738 = 11 ° ° 101a + 40 = 8° a(a . 3bcd = 165 5° + (5° + 1)y + 5° = 5° módulo 9..6) = 4° Además: 100a + 40 + a = 8° a(a . aba(b ... F Clave E 5 y 7 son primos absolutos. Clave E II. I. F MCM(217.7 Ç 5n) = 93 n SD(2 Ç 5n) = 93 Resolución de problemas 2 n+1 6. (a + 1) = 90 40 . 5) = 18(2 .. ` MCD(12A. 27) = 217 Reemplazando a = 5 en (2): (5 + 1)(b + 1) = 30 & b = 4 5. SD(A . 24 . 24 (4)(5)(a + 1) = (5)(a + 1) + 90 40 . 5a CD(N) = (5)(a + 1) abc 3 27N = 3 . 5) Clave C 20 Intelectum 4. 5 4 a 8° (22 . 240 d 2 . ° (22 .1 nd 5 . 15 2-1 5-1 4 Comunicación matemática ° = 1620 SD(18) 1. 5 ` Tiene 22 múltiplos comunes.(2) II. (a . 20B) = 30 5 y 7 son primos absolutos. 3 # abc # 40 . (A + B)!] = A! & (a + 1) . Por dato: ° = 40 N = 2 . 4B) = 6 = 12 no lo es. ° = 30 CD(2) Razonamiento y demostración Luego: 4. 5 = 20) 20 7. CD(9) 3. N = 720 = 32 .B) = 93 Clave B SD(9 Ç 5 . 3a .1) = 1 a . 24 Clave C (24 . 6   a+1=6       h ` a = 5 40 . pero 5 y 35 no son PESÍ. (b + 1) = 30 . 32 A! Ç (A + 1) Ç (A + 2) Ç .2 . F ` 2a + 3b = 2(5) + 3(4) = 22 3 y 5 son primos absolutos. F 10. ESTUDIO DE LOS DIVISORES POSITIVOS DE UN NÚMERO PRACTIQUEMOS 4 2 ° Nivel 1 (página 35) Unidad 2 SD(18) = 18 d 2 . (b + 1) = 40 . 7b.1 . 3a . 2 = 8) CD(27N) = (4)(5)(a + 1) ° & abc = 40 & CD(27N) = CD(N) + 90 40 . pero 3 # 5 = 15 no lo es. MCD(15A. 11. 5 . 4 abc 40 . N = 24 . 2 . A + B . 7b) . 2(2 . 7b) . 9.1 = 20 & 3a . I. Ç (A + B) = (A + B)! & 2 . 24 .3 = 2a + 2 a+1 30 &a = 5 III.. 16B) = 24 III. N = 2020 = 520 .. F N = (2 . 2 ` MCD [A!. pero 5 + 7 MCD(3A. V Dividiendo (1) y (2): MCD (A + B.(1) ° & (A + B)! = A! N = (3a .. 3 20(a + 1) ..1 n = 93 2-1 5-1 CD(N) = (20 + 1)(40 + 1) = 861 & 5n + 1 = 125 = 53 CDSimples = 3 &n=2 ` CDcompuestos = 861 .1) .3) + 1 = 22 8.1 n = 18 . 2 3 3 N = 3 . 5 15 . Clave A 2.3 = 858 2 ` A + B = 16 Ç 5 = 400 Clave B Clave C 12.° .5(a + 1) = 90 40 .. ..13. . = 26 . II. 3 . V No cumple en (b).N2 = p2q3 ( ) 17.1 Clave D 12 cifras ARITMÉTICA .. MCD (A + B. V Por propiedad.. q2 ( ) Sí cumple en (b). m = 4 / n = 3 1369 = f + 1p 2 & a = dm = 64 / b = dn = 48 ` a . I. separamos los factores primos 5 y 3: 22. Del enunciado: 19.(4) CD (E) = f + 1 pf + 1p 2 2 De (3) y (4): n _n + 1 i 2 d = 16. N = 24 # 32 # 5 # 7 Se cumple: CD(N) = CDC + CDP + 1 Razonamiento y demostración 16.. Sea N el número: N = 7! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 15.SOLUCIONARIO UNIDAD 2 21 . V Si: A = B° & A + B = B° N1 = p11 / N2 = p14 & N1 .n. b) = 192 ..(b) CD[MCD (6.(1) n_n + 1 i MCM(a.. Si A y B son PESÍ.. 66(7) = 712 . F Clave E ° entonces Si A = 6 y B = 3 ( 6 = 3). + n = 10 2 Sea: a = dm / b = dn(m y n son PESÍ) n_n + 1 i n_n + 1 i n_n + 1 i De (1) y (2): E = _2. Sea E = 10 . MCD (6. 104 … 10n a + b = 112 . B) = B Clave C Si: N1 = p2q3 / N2 = p2q4 & N1 .(3) n _n + 1 i n _n + 1 i d. B) = 14 ° / B = 14 A = 14 ° ° Luego: A + B = 14 N1 = p2q3 / N2 = p4 . A = 66 . 20. 3) = 3 21.. q2 & N1 .. 3)] = CD(3) ! CD(6) 2 ! 4 Donde: CD(N1) = 12 y CD(N2) = 15 III. Sean: N1 y N2 los números... F (5)(3)(2)(2) = CDC + 4 + 1 60 = CDC + 5 Por propiedad: MCM (A. Si: MCD (A. 103 . F .b = 16 n _n + 1 i 37 = +1 Clave B 2 72 = n(n + 1) Nivel 2 (página 35) Unidad 2 `n=8 Comunicación matemática Clave A 14. 5 2 d(m + n) = 112 .N2 = p11 # ( ) Entonces: No cumple en (b).N2 = 2300 = 22 # 52 # 23 . B) = A Ç B Entonces: Como A 2 1 y B 2 1. B) = A ` CDC = 55 II.5 i 2 =2 2 .. 102 ... 66(7) = 78 .1 3 2 5 45 = 15(5 # 3 ) 8 cifras ° = (2 + 1)(5 + 1) = 18 CD(15) B = 66 .(2) E = 101 + 2 + 3 + .q) III.N1 = p2 # q2(p2 . entonces: A Ç B 2 1 N1 = 23 # 52 = 200 / N2 = 22 . entonces 5 2 MCM (A. Entonces: N2 . 54 = 2500 Resolución de problemas ` N1 + N2 = 2700 3 23 3 6 18.N2 = p2 .. 45 = (5 # 3 ) = 5 # 3 Clave E Para obtener los divisores de 15. Luego: N1 . I.m. 6.D. B = dk2 & 3024 = d k1k2 Clave E Si: (a = 6 / b = 2) no se cumple (1). 4 = 264 CD(aabb) = 21 = 3 .(3) Como A y B son PESÍ y B y C son PESÍ. 78 . 80! = 2a . . 9. B) 4 1 5 2 Clave C MCD(A. 4.. E] 22 Intelectum 4. 462) .. V ¿Cuántos divisores son impares? 73 . 2.. 7.° . B) = 74 .66k2 . 18. V 2 . 126} & aabb = 112 .1)(7 + 7 + 1) = 1 = MCD (A.. 3)2 & d = 12 Como: B ! d & k2 ! 1 con lo cual k1 ! 21 De (2): n = 2 2 2 27..48 = 12 MCD (A. B) hallando a y b: De (1): MCD(abc..D. 21.(49k1) = 49k2 Como A es PESÍ con A + 1 y con A .k2) 5 2 III. p y q son PESÍ 11! = 11 # 10 # 9 # 8 # .cba = 66k1 . 294. Para B = 3. Sea d = MCD(A.imp = 60 . Entonces A y C no son PESÍ. 6. P dicha condición.. 6. &a=2 / b=6 Del enunciado: d es máximo Nivel 3 (página 36) Unidad 2 & k1 y k2 son mínimos y PESÍ. 3.k2 = 3 = MCD [1. B) y m = MCM(A. 598} Clave A Clave C Luego: 24. 42.. E) + 2 9 8 (por propiedad) + 1 = MCD{MCD (A.1 = 2400 `2 + 4 + 0 + 0 = 6 7 4 8 5 Resolución de problemas Clave D Luego: 30. 18 552 170 = 2 Ç 5 Ç 7 Ç 13 Ç 19 Ç 29 Ç 37 aabb = 112 .2° entonces A es PESÍ con (A + 1) (A . A2 .k2) & k1 . C.33° = 3 # 11 # (24 # 5 # 3) Como A 2 B 2 1 entonces: 1 6 A! = B! Ç (B + 1) Ç (B + 2) Ç . cba) = 66 29. 2 # 1 MCD(abc. D. 14. Razonamiento y demostración = 4 # 3 # 2 # 2 = 48 De (1): 28. 7 MCD(A. 73 .1 = (74 + 1)(74 .D. 7 . .. 42} 31. 2. 28. 14. 11 . Por dato: entonces: Ejemplo: m = dpq. cba) = MCD(330.C. Reemplazando (2) en (3): 11 2 1xy = 66(k1 .. número. Como: 23.imp = C.1) = A2 .2° = 2(23 # 32 # 5 # 11) Donde: k1 y k2 son PESÍ.. F . 3 . 196. 21. 7920 = 11 # 42 # 5 # 9 b) MCD (126.(1) ¿Cuántos de sus divisores son pares? & n(A) + n(B) = 30 C.1 = (7 . 598)] = 8 C. .. F 3 3 Donde: k1 y k2 son PESÍ. B). B). (A 2 B) MCM(A.D. Piden: abcmín. 12. Por dato: & abc = 66 . D. Entonces: Comunicación matemática 26. B) = m / m .1) & 198 = 66(k1 . B) = d. C.N) = 49 3 d) n(A) = 12 y n(8) = 18 & N = 49k1 / 7 . 147. n6 . d = 3024 ` a + b + c = 12 Luego: aabb = 11a .1) = 1 ° ¿Cuántos de sus divisores son 33? Entonces: k1 + k2 = 7 II. D. Sea: N = abc(7) a) A + B = {1.. 7.(1) m = d° 11! = 2a # 3b # 52 # 71 # 11 1 & abc . 3. E] 12 4 8 4 .D.D. MCD (A. B!) = B! ! 1 32.(2) Luego: MCD (m.. I. ` A! y B! no son PESÍ Clave E Observación: Descomposición canónica del factorial de un III. nb 2 A = dk1.(2) Luego: 3024 = 3 . 2. 49. 63. 21.1. C. 3. d) = d = MCD (A. 5b . C. 7. I.. existen 6 números que cumplen Luego: MCD(A!.. 598) = 42 7920 = 24 # 32 # 5 # 11 Por dato: c) n(A + B) = CD(MCD (126.N = 49k2 . D. 26 = 7744 Entonces: k1 = 7 / k2 = 3 & B = (12)(3) = 2 .. C. V 25. B. `a-b=7-4=3 84. = 5 .1 & 73 = 49(k1 + k2) C. Ç A 2 5 3 4 (5)(2)(2) = 20 k 4 3 A! = B! Ç k 5 2 ° ` ! de soluciones = 48 + 12 + 20 = 80 6 1 A! = B! Clave A Por lo tanto.D. C = 4 y A = 2 + 1 & abc . V 11 3 & abc = 66k1 / cba = 66k2 II. 42. 98. 2 = 60 MCD(N. 7 . 14.cba = 1xy .(1) abc = 66k1 es mínimo si k1 es mínimo. aabb = a0b . A = {1. 2 . 3 ` CD(B) = (2 + 1)(2 + 1) = 9 B = {1. (22 . 6 5 ... 5 . 2 . aaa 5 El exponente de 10 nos indica el número de 3 . 3 . A # B termina en 38 ceros.7. 3 . .100 .. B) = MCM(A.6 = 786 = mnp ] 245 ] 356 Para B: A[ m = mnp! = 786! / M = 2a . 3!)! = (2 . P 2 30 .) = 83! N = 12! = 1 . 13B) . 32. . se deduce: Luego: 786 5 ° anan .. B) = MCM(anan .. aaa00) = 22 . .. 2 . 519 . Clave D ARITMÉTICA ..0 / B = . 97 5 2 ` M = mnp! termina en 195 ceros. (10)195 .. aaa 2 Clave C 15 . 2 2 S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 1 Clave E Donde: S es la suma de todos los valores de (a + n)..00. aaa 3 37.(1) a = 782 De (1). aaa00) & S = 2(1 + 2 + 3 + . 3 . 4 .7 = 11 11! = 28 # 34 # 52 # 71 # 111 157 5 101(an) = 11° +7 31 5 Hallando el exponente de 2 y 5: 6 5 (11 ° +7 ° + 2)(an) = 11 1 ° 2(an .0 6 2 38 ceros 3 2 1 Por lo tanto.. 196 2 Se cumple: & A = . Por dato: a = 8 b=4 + 3 + 1 MCM(anan . Del enunciado: ceros a la derecha: 19 A = MCM(75!.. 5 . 11 . SD = 7 . . 3 . a = 40 + 20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 78 34.1 n 2-1 3-1 5-1 B = MCD(83!. 3 . 22 .00.. 22 . 64. P ] 467 83 5 ] 578 80 16 5 ] 689 = 13 ° Hallamos los exponentes de 2 y 5: 3 15 3 \ 786 2 1 393 2 &a = 6 B termina en: 16 + 3 = 19 ceros.50 .0 98 2 ° A = 689 = 13 49 2 19 ceros 19 ceros ` Scifras = 6 + 8 + 9 = 23 24 2 12 2 Clave B & A # B = . 53.. 42.. se tiene: 1 Z134 En (1): ] A termina en: 16 + 3 = 19 ceros..) = (75 + 9)! = 84! Clave D & MCD(60. N = ((2!)! . 84!.. a = 5 + 2 + 1 b= 3+1 a = 393 + 196 + 98 + 49 + 24 + 12 + 6 36. aaa 2 S = 2 d 8 .1 nd 31 + 1 . 7 . 23 . P Entonces: 10 2 an = 20..1 nd 51 + 1 . 77!.. 11 Luego: Clave A CDcompuestos = CDN . . (10)19 .5 .(1) 80 16 5 CDSimples = 6 4 15 3 De (1). 31.. P = 2587 . MCD(60.7. P = 259 .9) = 11 80 2 80 5 b = 157 + 31 + 6 + 1 40 2 16 5 b = 195 ° +9 & an = 11 20 2 3 M = 2782 .00. 9 n = 72 ` S = 72 & 80! = 278 . 76!. 86. 5195 . . . A = a(a +2)(a + 3) CDN = (11)(6)(3)(2)(2) = 792 84 5 MCM(A. 3 16 números ` SD = 168 10 5 2 N = 2 .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 23 .1) Para A: 35. 75. 2 . CDcompuestos = 792 . 5b .. 5 2+1 10 números 33. 2 .. 85!. + 8) b = 16 + 3 = 19 60 . 1)! SD = d 2 ..CDSimples (. .25 .. 11B) . . 7 . .. Del enunciado: 3 =1 Reemplazando (1) en (2): 3k + 10 = 5 a = 3k / b = 4k E 4 7k + 10 9 -n +3n ` E = 12 27k + 90 = 35k + 50 & 40 = 8k & k = 5 3k . b = 2c = 6 ` 2c . a b 5 a .E E 2 M + 10 9 12. R .5.. c = 1296 3 _2k i + 8 _3k i e .. b = 8 . 5 z 12 Reemplazando c = 6 en (1): 4.1875 3 .. 15 y 15. 5 & z = _13.. f .° . R.n 3k 3k + 3n Clave B 4k .. Sean a y b las edades actuales de los jóvenes. 3 = P = E = R = U = K P E R U 96 c = 3k / 6 = 3k & k = 2 ` z = 15.b 16c4 = 1296 & e .n 4k 4k + 3n ` M = 7k = 7(5) = 35 años 5.(2) 1.a . d = dk . a = b = c / a + b + c = 100 a + e = 12 . 96 Clave A 2 1 = K5 & K = 5 1 & K = 1 ` a + b = 14 + 4 = 18 32 32 2 8. b = 3k / c = 5k Piden: (4c) . 5 i 13.(2) Hombres: 7k 3k + 3n + 4k + 3n = 60 (dato) 3 60 = 7k + 6n = 7(2n) + 6n H – M = 28 Reemplazando (1) en (2): 2 (3k)(4k) = 1152 7k – 3k = 28 60 = 20n & n = 3 3 8k2 = 1152  4k = 28 Reemplazando el valor de n en (1): k = 2(3) = 6 2 k = 144  k = 7 El mayor tiene: 4k = 24 años M = 21 k = 12 El menor tiene: 3k = 18 años H = 49 & a = 3k = 36 / b = 4k = 48 21 .. Mujeres: 3k 21k – 7n = 20k – 5n & k = 2n . Si: a = 8 = c = d = k 7 b 3 e Clave E Clave E a = 7k. Sea m la media proporcional de 9 y 16.2k . 2 .14 35 5 24 – x = 36 – 2x & x = 12 Clave B Clave E Clave D 24 Intelectum 4. 49 .5 168k = 42 ..(1) b 4 9. 46 = 92 c + e = 7 (dato) 9 9 81 Piden la tercera proporcional entre 12 y 13. b .c c 10 2 &k = 2 Clave A Reemplazando en (3) y tomando en cuenta (4): Reemplazando en (1): b = 2c. d = c .(1) Además: 2 (a)(b) = 1152 .(1) b c 5 ... R .. (2c)2 .b 5k ` a + c = 15 11. U = K5 a = 7(2) = 14 / b = 8 = 4 P . E . a = 4c bk + fk = 12 2. Clave B c + 1 = 7 &c = 6 2 12 = 13..(2) Usando las propiedades de la S. P . Si: a = b = c = k k(b + 5b) = 12 & 6kb = 12 & kb = 2 2 3 5 Luego.(1) k 3. b = k2 & k2 = a = 4 De (1): a = bk / e = fk & 100 = a & a = 20 b. a . E . en (2): & a = 2k. 16 = m2 & 144 = m2 & m = 12 7k .(3) 2 3 5 a .bk = 5bk .. Por dato: A = 3 & A = 3k / M = 7k .. 4ek & e = 1 15 n ` a .(1) M 7 Clave E 2 & 3 . bk ..(4) a+b+c = a c 1 2+3+5 2 De (1) y (3): a . c = 3k..n 7 a = 3 & a = 3k / b = 4k .n = 5 (dato) Clave C 4k .bk 3a + 8b = & 2c .. U . b2 .a .... Sean: a y b los números 3k . P = K2 & 3 = c 1 m Además: A + 10 = 5 .. E. RAZONES Y PROPORCIONES APLIQUEMOS LO APRENDIDO 6.a = 4(2) = 8 = 6k + 24k c=3 Clave A 10k . Reemplazando (1) en (2): Además: a = 4 . Del enunciado: 10. e + d) Sea n la cuarta proporcional de 10. 3k = 42(3k . a + 1 = b + 2 = c + 4 = 10 7.(3) 5 .3k c4 = 81 ` e .a = 4bk 2 _5k i .(1) b d f (página 38) Unidad 2 a = b = k . c = 42(c . b .14 = 7 = 1 ` 1: 5 Piden: 24 – x = 2(18 – x) ` El mayor número es 48. e + ek) m 16 k a= 1 b = 2 c = 46  9 9 10 = 9 & 10n = 135 & n = 13.. G.5k 3a + 8b = 30k = 6 & a = 4c = 12... Por dato: a = c = e = k .... & a + 1 = 10a / b + 2 = 10b / c + 4 = 50 9 = m & 9 .a = fk . d = ek . c = 1296 .(2) P. c = 1 . 8 . f & 5b = f . xy) = xy II.. c . b = 7k. c2 & b = a .(3) 12 6 343 b) = ` k= 1 Además: a + b = 60 .... 5k + 14k + 24k = 430 43k = 430 & k = 10 Reemplazando (3) en (2): Razonamiento y demostración ` b = 7(10) = 70 xy2 + 1 = x(2y)(z + 1) 13. 1 $ 100 Por propiedad: a + c = 1 b . F k = 2 Por ejemplo: xy 14.. tenemos: a + 2b + 3c = 430 a = xy2 . F Comunicación matemática & MCD (a. a) 15 = 3 = 12 = 8 = 9 35 7 28 12 21 y en (4) tenemos: 10.(1) c2 . I....c) + (c2 .c = 2 & a = 8 d n Luego: b..(2) III. c = 8k 5+x = 2 = 8 & x = 3 5 7 8 bMCD (k.(1) b d ` x = 5 años Nos piden: 3 + 7 = 10 & a = bk / c = dk Clave C Clave D a + c = bk + dk = (b + d)k ARITMÉTICA . como: 5. 2. Patricia : 19 3 Zulema : 25 a.(4) Si: a = c = 1 b d 2 7..º círculos: 12 Resolución de problemas Sea x el número de cuadrados que se aumenta: MCD(bk. b) = 1 6. PRACTIQUEMOS 13. Además: xy = 48 . a) V Clave E xy2 = 1(2y)z .b.. 58 = 406 n..5 = 5 .. 1 = k3 a2 + b = b + a2 = k 343 a+b+c a) 8 .(2) Luego: a = 12 / b = 48 Razonamiento y demostración Reemplazando (1) en (2): ` a # c = 48 4.q 3 9 1 11  Clave B c) F 2 24  Si: a = b = c = 2 3 3 9 (no cumple z < 9) b c d 3 8..4k = 174 b) F p &x=1 3k = 174 Si: m = = 4 n q 3 Reemplazando x = 1 en (4): & k = 58 2 m.(4) 6 3 7 Clave D Reemplazando a y b de (2) y (3) en función de c.. 1) = 1 & b = 1 12 3 12 Además : Clave C Reemplazando en (1).(3) 12.p 2 1y = 1(2y)z Por propiedad: = d 4 n = 16 ` El número mayor es: 7 . xy) = MCD(xyk. a = = k ! Z . a) a = c = k .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 25 . V 11.. x = 4 = = k 3 b 4 (c2 ...(1) 9. Sean a y b los números. a = b = c = k & a = 5k.d 3 d 27 19 + x = 4 x+y+z=1+1+1=3 0 25 + x 5 x+y+z=1+2+4=7 95 + 5x = 100 + 4x 14. 3 # 4 # 5 = k3 a+b+c c2 b Nivel 1 (página 40) Unidad 2 b#c#d Comunicación matemática 60 = k3 De (1): b2 = a2 .2 c2 + b 3 1 =k & c2 = a + c . I..a = 174 / a = 4k b+d 2 2 $ 400 (no cumple) b 7k 3 $ 900 7k ..º cuadrados: 5 & MCD (xy. V Nivel 2 (página 40) Unidad 2 MCD (a..1) c (c + 1) = 60 & c = 4 3.(1) 3 ! 3+2 = 5 Como: 4 = k  = 2 xy b 4 4+2 6 b a + b = x(2y) (z + 1) .(2) 20 580 1. a2 + b = b = a2 = k .c2 = 60 (c . n.. b) = 1 n.c + c3 .c) c = 60 b) 10 = 4 = 8 = 6 = 2 & y = 4k / x = 3k 15 6 12 14 3 .c. xy) ! 1 III. V 12k2 = 48 Clave E II. F ` b = 2 z<9 Clave B Clave A Además. 13. 12. Del enunciado: 2 =1 & 4 =1 17. 26. 7. a + b + c = 650 a = 2k Cantidad números compuestos = 19 a + b + c = 50 & 650 = 50 b = 3k a-c 9 a-c 9 Nos piden: 11 c = 5k 19 a . V ` a + b + c + d = 14 3 .. Números primos: {2. c = dk / b = dk 3 x 6 x b c d 4 = 5x . 15.32 3 = b 2 .d. 5. a-2 b-3 c-5 29. 28.. I.(c + a) = 143 Luego: 20. y reemplazamos 13k2 = 52 a2 .2 3 = b2 . 143 = 1001 sen30° = cot 45° 2 3 Nivel 3 (página 41) Unidad 2 tan37° x Clave C Comunicación matemática 1 21.c = 117 19.q.3 3 Además: (d + b) . 22.q.(c + a) = 143 P + U + R + E + 486 3 5k 9k 8 3 k .q.12 = 35x . 19.q. 6. V b=3 3k 2 = P = U = R = E =k b = 75 P U R E c=4 3k 2. 30} a+2-a+2 b+3-b+3 c+5-c+5 b d Luego: Resolución de problemas a =b = c 2 3 5 Cantidad números primos = 11 15. 17.8 & 24x .2 3 & a2 = b2 en (3): k = 2 16 49 16 49 143 + 2c + c = 650 ` a + b + c = 10k = 10(2) = 20 Luego: 3c = 507 & c = 169 a = b =k Clave B De (1): 4 7 a .98 3 a + b + c = 650 (dato) .c = 117 . 27. Preguntas de Preguntas de matemática otros cursos 2+P+U+R+E = 1 (d + b) . 23. V b .) 3d (k + k + k) = 70 .(3) 4k2 + 9k2 = 52 16 49 Despejamos a y b de (1) y (2).6 3 k = 2 3 5k = 4 # (Aritmética) x 2 3 k = 143 2 + x = 1 & 6 + 3x = x + 486 10 x + 486 3 k = 143 5k = 40 & k = 8 2x = 480 2 3 x = 240 a+b+c+d= Piden el total de preguntas: & P + E + R + U = 240 5k + 9k = 14k = 14(8) = 112 preguntas 2 3 k + 3 3 k + 4 3 k + 5 3 k = 14 3 k Clave C III. 11. 20.(1) Clave D a + b + c & 650 = 25 Por dato: Razonamiento y demostración b-c b-c 1 a2 + b2 = 52 23. y b la Además: & a = 117 + 169 = 286 tercera proporcional de 12 y 30.35 15 = 75 ` x = 375 d=5 3k 75 x & 2 5 = k5 & k = 1 Clave A 2.c = 26 .3 44 = 11x x= 3 (d2k6 + d2k4 + d2k2)(d2k4 + d2k2 + d2) = 4900 2 &x=4 Clave E d4k2(k4 + k2 + 1)2 = 4900 26 Intelectum 4. 18.a = 15 Clave D 5 = a a 45 7k . 10. a + b = c + d (l. 3. b .56 4 (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900 7 6x . 25. a + 2 = b + 3 = c + 5 22.(2) (2k)2 + (3k)2 = 52 a 2 . 8. 31} a +1 = c +1 b d Por propiedad: Números compuestos: {4. 9..d. 3 = 210 Área = d 21 + 12 n 6 = 99 m2 2 b d b+d Clave E Clave E b) a = c b d 18. 45   3k = 15 & k = 5 12 27 48 75 a = 15 b = 7k = 7(5) = 35 ! 3° &a = 2 3 k 12 = 30 30 b II.. a = b = c = d = k 2 & a = 5 .) a+2+a-2 = b+3+b-3 = c+5+c-5 16. a = b = c = k & a = dk3..4k = 15 2 2 2 2 16. Sea a la media proporcional de 5 y 45. 24.. 14.° . 21. d2k(k4 + k2 + 1) = 70 Además: h = 12(4) = 6 & a+c =k b+d 2 5 2 3 2 3(ab + bc + cd) = 3(d k + d k + d k) Luego: Reemplazando en (1): 2 5 3 a = c = a + c (l. b) = MCM(20.º peruanos 10k2 = 40k & k = 4 & a . 3595 & a = 5k / b = 2k 2 Reemplazando en (3): Clave C & c = 60 (5k) (2k) = 40k & b = 40 / a = 35 27. Sea x: la cantidad de agua que se agrega.º extranjeros n. 15x ` 8 + 4 + 0 + 0 + 0 = 12 Luego: Peruanos: Clave C a = 20 / b = 8 Homb.7x = 7(15x) 30. c = 84 000 2 . .9 = 4 Además: b= 8 c &x=2 12 a .d = 57 c) F a = 7b & a = 7 c d(k3 .. a) V 160 + x = 7 .21x 7x 7 suma de consecuentes Clave D Vino 5k 260 L a + b + c + 3 # 11 = 3 Agua 8k A + B + C + 2 # 11 2 28.(3) c2 + 7 c . 8) = 40 Mujer: 4 .b2 = 33 . Se cumple: n..c = 3595 Piden: c 12 2a = 10k ` c = dk = 24 . a + 49 = b + 64 = 7 8 12 a3 .24.n.° M . b . Clave A Clave B 3 1 26. 7x 25. 7x ` MCM(a.12 = 26 dk 3 = dk 2 = dk dk 2 dk d a 2 + 49 = b 2 + 64 = c 2 + 144 = k2 b) V 49 64 144 Del enunciado: 13 .°N 28x .: 8 .b = 3595 a .8 c = 3595 & d = 24 12 12 Sumando (1) y (2): c2 .3 2 2 Igualando (II) y (III): 12b = 8c x2 = 13 .° extranjeros 30x Del enunciado: = = 30x = 30 suma de antecedentes = k n.3 i_ 13 + 3 i = 13 . n.SOLUCIONARIO UNIDAD 2 27 .c = 12 .1 n = 57 8 a .(2) d d 27 . b = 40k .3 = x l ll lll x 13 + 3 3k = 9 2 &k = 3 Igualando (I) y (II): 8a = 7b 2 & x2 = _ 13 ... 3 = 36 12c2 .(1) c2 + a .b = 3k . a = b = c = k 2 2 c 2 + 144 = k Luego: b c d 29. a = b = c = 3 A B C 2 Resolución de problemas Niños: 3 ... 15x 7 . 25 = 175 & c = 35 d 3 n = 15 7(4a + b) = 13(4b + a) 100 4 25 100 7 28a + 7b = 52b + 13a 160 + x = 175 Piden: 15a = 45b & a = 3b ` x = 15 L c + d = 15 + 35 = 25 2 2 . Sea la proporción geométrica: a = c & ad = bc Luego: b d a2 + b2 + c2 + 5 # 32 = 32 (+) 13k = 260 Además: a = 3 & a = c = 3 A2 + B2 + C2 + 5 # 22 22 & k = 20 b 7 b d 7 abcd = 1225 a2 a3 + b3 + c3 + 5 # 33 = 33 Se tiene: 2 3 3 3 3 23 (ad)(bc) = 1225 a A + B + C + 5 # 2 Vino: 100 L (ad)2 = (35a)2 2 3 Agua: 160 L E = 3 + 32 + 33 ad = 35a 2 2 2 d = 35 E= 57 8 Clave D ARITMÉTICA . 7x & 15.1) = 57 8 12 a + b = 7k . 2 i ` x = 0.. 6 = 1(0.a = 13 ! ` N = 0.° .11m 45 = 3a .30x = 1500 abc_ 6 i cb _a .(1) 9900 r = 41 . 2 Clave D 4 3 3.n 9900 72 = 7n . N = 0. 111 = 79 & 37a + 3b = 79 3 999 132^ 6 h ! . 37a + 3b = 711 964a + 90b + 8 = 621c 3 _37 i 999 . = 0.x = 1500 12. existen 5 fracciones impropias.(2) x = 5000 . M = d 3 nd 4 nd 5 n . 4 + x 6 Clave D 0.4 + x 14..   .9000 1. 14.(2) ca^a ... entonces por propiedad: ° xy ! 3 .n abca . n ! N . 259 Clave B 4..(2) b 13 a ! {7. 2 < a < 41 13 b 52 c _a . Del enunciado: Reemplazando (1) en (2): Como la fracción es 11 + m = 7 irreductible.2 i_b + 2 i (página 43) Unidad 2 Gastó Queda 11.(1) 30 5 & x = 10 55x .7 i a ! 0.x Clave C Del enunciado: 10 30 5 2 + x = 4 & 2 + x = 12 15 5 Del enunciado: 11 x ... 0.(1) 13. 13.. Luego: 37a + 3b = 711 1 3 2 3 x + 40 = 42 & x + 40 = 70 b l 111 999 5 3 3 Reemplazando los valores en (1): x = 30 37a + 3b = 711 ..ª operación: 2 x . a + b = 99 99 1. n = 9900 . 26 b En el denominador: 37 17 (m y n son PESÍ) ` a = 15 ca (a . 2 2 _a . FRACCIONES APLIQUEMOS LO APRENDIDO 7.2 .1 i_ 9 i Clave C 150 1000_ 6 i = 1000_ 9 i 25 x = 1500 3.x = 11 x 3 5 3 10 3 30 `a + b = 7 2. 8. Sea x el contenido inicial del recipiente.° día: 1 d 4x n = x 7 4x = 7x d n a2 + b2 = 10a + b – 18 M = 48 & M = 24 8 5 10 8 5 10 . Sea x el número que se agrega. abca = abca . 259 1 14 1000^ 6 h 216 27 ` x = 90 L Clave B ` b ..2) .1)(9) .cb(a .° día: 2 b x l 11 x . 9} 6. .ab ..7h a.8 2.er día: x 4x 2 3 4 46 47 5 5 2 2 a + b = 10(a – 2) + b + 2 2... 150 & 36a + 6b + c = 81c + 9b + a .. Del enunciado: Por lo tanto. Del enunciado: Del enunciado: 1 = 1 .9 mn = 17 & m = 1 / n = 7 ` x = 4991 De (1) y (2).2 m3 52 b De (1) se tiene: Clave A 2r = a . tenemos: Luego: Clave A xy ! {10..(3) b 26 ` m + n = 54 Clave C Si a = 9.4 + x) 10. .a n = a . .4 + x 1000 9+x 17 > 1 & 17 > xy . 11.2h .2 52 b b 13 Luego: 11(11 + m) = 7(7 + n) 41 + 2 = a + 2a c^a .40 1 x + 40 Efectuando: 3 3 Clave E 972a + 162b + 27c = 648c + 72b + 8a .1 .er día: 5 b x l = x 7x .1 Se saca Queda 216 729 ` x = S/.. Sea el número: x 4. .(1) ca _a . a ! 8 7+n 11 2 d 41 . 16} 14 + 54 = c & c = 14 + 54 = 68 = 4 17 17 17 17 5.. N = 0.132(6) = = 56 <> 7 = 0.abc(6) = 0. entonces 7 n ! N en (3) & a = 7 Clave C 28 Intelectum 4.ª operación: 2 b x + 40 l 3 x + 40 b l 5 3 5 3 8. 1 ` m + n + c = 1 + 7 + 4 = 12 =1 Clave E 0. d 47 nd 48 n 1. Clave D 9.a .ab 121 + 11m = 49 + 7n 26 13 b b = . Del problema: 1 = 9+x-4-x xy 14 + 54 = c ! Z y además 54 es una 17 mn 1000 9+x mn Además: 9 + x = 1000(5) fracción irreductible.6 = 0.. (F) 7 7 7 Piensa dar: 7 de lo que debe. ! ` Le falta: 7 0. II. ab = ab a . (100c + 75)n = 9900 4 3 5 7 (4c + 3)n = 396 13x .x = 13 Clave D 12 Reemplazando: ` x = 156 L Nivel 2 (página 46) Unidad 2 a = 7. N " Irreductible b) MCD c 3 . 1 + 4d = 23 & 4d = 22 Razonamiento y demostración 4. (V) Uniendo: 24 < n < 40 Resolución de problemas ! 231_ 5 i . luego la fracción inicial 60 D dk 2 k 2 = 1 + 3d = 1 + 3 d 11 n = 1 + 33 & S/.120 12. 37} 0. Petroleo = 3 _156 i + 7 = 124 4 11. ` N + D = 14 113_ 6 i 113_ 6 i d) = 45 = 9 & =9 3. tal que: 15 d = 22 = 11 N = dk1 Pero da: 7 # 3 de lo que debe. c75 # n = 9900 3x + 7 + 1 x .43(6) 1 0. a3. 5 .43(6) = = 27 Clave C 100_ 6 i 36 N+5 = N PRACTIQUEMOS D+9 D ! 43^ 6 h 27 27 0. 5. 31. 0. (V) MCM _3. 1 3 x . n ! {25. 5 . di S/. Debe: S/. 29. 7 i 24 2 3 MCMd 3 . a) Como m14 1 m52 & m14 < 1 7b Clave A m52 7452 MCD^3. . . N y D son PESÍ. 12 Razonamiento y demostración 90 Clave D 13. 7 n = = 105 Es verdad solo III. D) ! 1 & 7 ! Z+. k = b d MCD_b. (F) 24 y n son PESÍ. 9. (V) Clave D 4 3 + a = k & mn = 17 Agua 17 mn 10. c = 2 y n = 36 en el numerador en (2): Comunicación matemática 207 # 36 = 7b27 . D 5 2 36 & 13x .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 29 . 43_ 6 i c) 0. I. a2 i 1 Clave E & n < 40 III.50 " 50 Los números que van en los recuadros vacíos 120 120 III. 7h 7.8 = S/.23_ 5 i 6.42 & = 1 = 1 . (F) = 35 = 5 MCM _a.20 ND + 7D = ND + 5N 3 ARITMÉTICA .120 II. 5. 7 m = = 1 > 1 &b=5 D 2 9 5 MCM^2. 5h 90 91 ` a + b + c = 7 + 5 + 2 = 14 & N y D son PESÍ. ci 14 2 a c MCM a . 231_ 5 i = = 53 = 0.42 + S/. 35. Clave A 55_ 6 i 35 7 55_ 6 i 7 8.53 400_ 5 i 100 ` n toma 5 valores. . 3x + 7 Petróleo 14.20 D & m = 1 / n = 7 Petróleo = 3x + 7 N+7 = N & m + n = 8 4 D+5 D 1 ` m + n = 2° Agua = x . 43 (6) 9 5 2. I. n 5 a1 a3 a2 MCD _a1. I. (F) n d d II.50 7 7 14 7 14 es reductible. 24 & 24 < n (fracción propia) Por propiedad: b = d & b + d = 2d = 2 ! Z 5.20 = x 7D = 5N d n d n . Si MCD (N. (V) 9.13 = x 12 N =7 . . 1. N es irreductible. 28 14 15 4 D = dk2 Luego: N dk k Lo que da: 21 # 120 = S/. S/. 43 (6) = = > & Nivel 1 (página 45) Unidad 2 DN + 5D = DN = 9N 55^ 6 h 35 36 Comunicación matemática 5D = 9N ! 1. (F) son 5 y 2.7b & 7b27 . (V) III.70 " 70 S/. 100 4 b d b d ! MCD _a.112(3) 5 43 ! 23_ 4 i .5mn(a) = 0. c l = .a Da Queda 22 990 1. d i 3 9 & A = 71 u2 Multiplicando (1) y (2). ` 6 pares de números. Clave E que: x . .55.500 6 2 ! ! ! II.48 b d MCM _b. c l = ..6b6b. 32 = 32 .1 3 + m 2 3 & 6 + 2m 2 6 + 3m 3x + 500 99 99 9 2+m 2 10 mn + nm = 13 # 11 = 143 Entonces: 0 2 m " Z+ 10m + n + 10n + m = 143 x + 500 + x + 3x + 500 + 2000 = x 3 6 10 11m + 11n = 143 III. c l ` x toma 12 valores. 021 = 21 . Clave E Clave D 23_ 4 i 0. sea m ! Z+ 5 2 mn + nm = 14 .500 45x = 109a + 7 3 .2_ 4 i 21_ 4 i 9 34 0. La palabra encontrada es AREQUIPA.. 7 n = =7 10p = 4 + 16q 11a + 5b = 781 .23(4) = = 11 ! 100_ 4 i 16 Resolución de problemas 19. Del gráfico tenemos: 13 + 10p + q = 17 + 17q 16.. . II. x = 0.2 = 19 III.b x + 500 + x l `x + a = 7 & 5 1 a 1 7 4 3 3 6 Clave B a=6 x x . < x < 19. mn + 0. c l MCM b a . 10. y). 6 i 3 55 990 5p = 2 + 8q Además: ! 11a + 5b = 43 12_ 3 i .112(3) ! 0. nm = 1. (F) 900 900 9a + 4b = 217 Si a = 4. d 9a + 4b = 6027 .(7) 5 2 2... 3 = 3 = 1 9 3 a + b = 6. c = 2 / n = 3 36 36 21_ 4 i & 4 + 12 + 23 = 1 + 1 + 12 + 23 9a + 4b = 217 0.2000 Si a = 3 / b = 2. 11..500 n + 125 x . y) MCM(x.48 9 22 9 2 48 MCM _a. I.(1) d + n ..(2) 22 < x < 176 b d MCD _b. c l MCM b a . tenemos: & x ! {8. c i MCM b a . (V) 3000 + 4x = x 11(m + n) = 143 13 + pq = m + q 5 mn 17 & 3000 = x . d i MCD _b. . d i 3 < x <8 8 3 A= = 71 . 0. 3 < x < 0. c i 22 5 7 MCD b a .21(4) = = 9 3 3 3 3 100_ 4 i 16 3 3 1 52 = 1(3) + 0. 0. c 90 90 b d b d b. (V) 2x .° x + 500 x .112(3) = 1. 0. El padre tiene x soles. 781 MCM _1. y = MCD(x. c i MCM _a. c i Clave B 0.412(3) 17 16 3 3 3 ! 23_ 4 i 21 7 0. 4 3. .a = 110a + 7 .33.7 3 6 MCD _3. 12_ 3 i = =5 2 1 3 2 22_ 3 i 8 & m + n + p = 1 + 7 + 2 = 10 `a = 3 /b = 2 Clave B 30 Intelectum 4. x = aa7 .602 = 5425 ! 36 900 900 0.500 l + 800 S/.15 000 Nivel 3 (página 46) Unidad 2 Clave B 13 + pq = 17(1 + q) Comunicación matemática ! 21. (F) 20.° 3 # b x . 02! = MCM _b. y teniendo en cuenta 7.° 1 # d 2x .. a + b = 0. 3000 Clave A m = 1 / n = 7 ` x = S/. 7 i 5 11 MCM d 1 . d i 18. 0. b = 1.a Razonamiento y demostración 3 3 23. .. 9.b x + 500 l 45x = aa7 .. (V) ! ! Luego: 17. 7 ! 4 9 0.4x ` m + n = 13 5 & mn = 17 x = 5 .25 = 25 = 1 MCD b a . 0...° .a a7 22 15.3 = 29 & MCD b a .. 8 MCD _a. 23 (4) = = 11 33_ 4 i 15 ` Son verdaderas I y II. c l = a. 23 (4) = = = 9 =3 30_ 4 i 12 12 4 13 25 & 4 + 12 + 23 = 1. 19} 22. ARITME 1 + 3 + x + y + 4 + 5 + 6 = 9º ° nm5 tiene que ser necesariamente 37. 909} x .(1) & nm5 = 37k ` MARI + TERE = 1285 + 7484 = 8769 º .. & R = 8. 3 = 108 & x2 = 108 a(m + b) 1 b(a + m) ` x1 + x2 = 180 & A 1T ` a 1 a+m 1 8 Clave A b b+m 2 7 3 6 2.ARITME 2 + z = 8º & z = 6 b < 32 7 13xy456 = 9º • Luego: 0. Del problema: Como: aba = 3º & 2a + b = 3º .. 303.+ . 1 = 1 & A + T = 9 A+T 9 x = 36 am + ab 1 bm + ab x = 36 .(1) Además: x 999999 8N = 456 & N = 57 º a b a = 11 5 = defabc .. T x = 36 . 3 = 999. Restamos (1) de (2): 1 2 (no cumple (1)) 27.3 + x . I = 5.. f = 0 / g = 1 ` x+y-z=8+0-6=2 8° = a(a + 1)(a + 2) Clave C 8° = 100a + 10a + 10 + a + 2 = 111a + 12 `a+b+c+m+n+d+g=9+0+9+9 8° = (8° .(2) & abc = 909 / mn = 91 26.a(a + 1)(a + 2) 125 Reemplazando (2) en (1): Reemplazando en (1): (8 + y) + y + 1 = 9° (y < 2) N = a _a + 1 i_a + 2 i 125 1000 91 = defg 2y = 9° 909 9 # 11 # 101 y = 9° & y = 0 / x = 8 8N = a(a + 1)(a + 2) . ` a + b + c + d = 10 Clave B Clave C ARITMÉTICA . 0.. 8° Resolución de problemas ° 13xy45z = 792 9° 4 5 ! ° 25.. e = 0. . 37 Luego: 8º + 2 + z = 8º Del enunciado se sigue: 2 = 0.y = 11 º +8 Clave B &x . N = 0..(I) 1001 = defg & d = 1.y = 11 º + 11 .1)a + 8° + 4 + 1 + 1 + 1 = 30 3.y = 11 º -3 999 999 27 condición del problema Luego: x .3 `n + m = 9 abc ! {101. nm5 = nm5 = a 11 999 b Como A/T es un decimal periódico puro. 2 = 72 & x1 = 72 A es una fracción propia.y + 3 = 11 º abc 9999 9 # 11 # 101 nm5 = 185 = 5 2 verifican la x ..+ .b = 11 Clave B ..285714 = 0.. 28. . .+ 1 .a & 8° = 4 ..y + 4 .(1) Reemplazando en (I): 2 = abcdef ..y = 8 Además. .SOLUCIONARIO UNIDAD 2 31 .(1) x . 64a + 16b + 4c + d = 127 2 4 (no cumple (1)) 256 256 3 = 999 _def .(2) +-+ ` a + N = 61 x 999999 º & 2a . como: abc + mn = 1000 x = 8 + y ... º 3 º aba = 33 8° = 8° + 4 . Del problema: MARATÓN MATEMÁTICA (página 48) 24.429 = 429 & x = 7 6 1 (no cumple (1)) 1 x 999999 1001 7 3 (no cumple (1)) 64 + 16b + 4c + d = 127 Clave D 8 5 (sí cumple (1)) 16b + 4c + d = 63 9 7 (no cumple (1)) .. m ! Z+ = 0. mn = = . a 1 1 & a 1 b b 1 ! 1. • 45z = 8º tenemos: T = 7 & A = 2 nm5 = nm5 450 + z = 8º 999 33 . M = 1 y E = 4 x + y + 1 = 9º . • 1 3 x y 4 5 6 = 11 185 5 Clave B + .a Clave A º 11 &a=4 30. Por lo tanto: 3 3 3 Hay 2 valores que toma a.5 + 6 = 11 º defg defg Luego: 29.abc i 3 6 (sí cumple (1)) 64a + 16b + 4c + d = 127 x 999999 4 8 (no cumple (1)) . 50 # x # 120 am 1 bm. 1 = 104 3-1 7-1 MCD(a. 5k 7. 37} Clave B ` n toma 5 valores 8.1)(78 + 74 + 1) a = 3(2) = 6 & n=3 b = 4(2) = 8 MCD(A.. N = 3 . b) = 9 . b = 3402 . Sean a y b los números. a = 3 b 4 8 cifras n+1 n+1 2 a = 3k / b = 4k & SD°4 = 4 c 2 -1 .x = 2 8 n ceros 6 7 Existen 4 pares de números que cumplen estas x =2 8 M = 44(6) .11 26 48 9m . M = 44000 … 000(6) 3 14 9x .(1) 11. D) = 6k n 360 = 32 . 2k . 3) 3(k + 1)2 = 27 & n < 40 24 = 2k ` k = 12 &k = 2 Uniendo: 24 < n < 40 K 2 ` N = 9 .1 Por dato: Como: SD°4 = 19 200 12 cifras 3k .1 M = 4 .° . B) = 4k 10.1 = (74 . 5 MCD(A. MCD(C. 10k = 32 .1) k2 = 4 & k = 2 15 80 712 . 10 = 9 . 7 a . 29. 24 & 24 < n (fracción propia) MCD(C. D) = 24 = d 24 y n son PESÍ CD360 = (3)(4)(2) = 24 24 > 3 d = MCD[MCD(A.7 8 9. 6n condiciones. 9n = 3402 8 & a = 2 / b=1 m .. 3 -1 . MCD(A. 6k) = 2kMCD(2.1 = 2400 Por lo tanto.1 . B). ..4. 4k = 48 (2n + 1 .11 = x ` Suma de cifras de N = 6 + 3 = 9 .1)(7b + 1 .3 . 10 = 900 Clave D n ! {25.2 =2 .. 7) 12. M termina en 3 ceros. 23 . (2n . 7 -1m 1 2 6 B = 66 . 66(7) = 712 . 66(7) = 7 .2 = x Clave A 2 21 8 8 6.(2) De (2): De agua x +9 a = 9m / b = 9n (m y n son PESÍ) 4 & (3a + 1 . D)] CDN = (2 + 1)(k + 1)(k + 1) = 24 + 3 n 5 24 = MCD(4k.1 = (74 + 1)(74 . n ceros ` x = 16 L Clave C Clave E 2 n n 2+n n M=7. n = 42 & N = 32 .1)(3n + 1 . ` 2+4+0+0=6 ` El número mayor: b = 8 Clave A Clave D Clave D 32 Intelectum 4. 4 8 1 42 2x + 7x . 31. C.1) = 1248 De vino Reemplazando en (1): 7 x . 100…00(6) = 28 . B) = 74 .2 .. 7b + 1 . N = 9 .. Clave D a b Del enunciado: 5.3 . 7 = 63 x + 9 + 7x . a+1 SDN = 3 . A = 66 ..1) = 1200 12k2 = 48 & 78 . B. 3n . 35.. Partes IP <> DP <> DP \ Z h/d = 2/3(24) & h/d = 16 Luego: ]A 1 3 3 ..° V2 Clave A Dividiendo (1) y (2): & n.4 3 .4 = 3 & 3k k = 25 ]] C 3 4 4 23k Entonces:     3 = 60 \ 3 . P.V = P = P = k (cte) W W D De (2): 62 = (3) . 2n 2..° V1) = (n.° V2 = 1881 vueltas por minuto 2n + 1 . Del enunciado: ] 2k ]] A $ 3 C = k _cte i 4k 6141 [ B ] k 8 Luego: ] h (1) (2) ] 2n k 14.SOLUCIONARIO UNIDAD 3 33 .(2)  27 # 836 = 12 # n. B = 7k = 140 S/h = cte 9. (a < c) B 9 & 9k 100 000 = P1 a .° dientes 1k + 2k + 22k + 23k + ..800 16 . Clave E Clave D 3  4 &a=3 / c=4 4.° d1) (n.    .43 Clave D 6144 .A = 140 Z ▪▪ Cuando producen 800 calzados. Partes DP w / w 11. 43  = 112 860 Resolviendo: (2n . 2n . 3 64 = x.. c = 12 (a ! Z+.. Por dato: 738 A 32 & 32k 2 2 3a . c = 12 .1) = 6141 . c = 36 .(2)  41k = 738 100 000 w 2 = P d n 4 1 62 = b2 & b = 6  k = 18 w2 Entonces: Del gráfico se puede observar: 25 000 = P1 b>c&6>c A = 32k = 576 B = 9k = 162 & Pérdida = 100 000 .x 2 ] 4 3 3 . 3 ]] A 686 = 7 3 2 & 7k h/d = 3k & 3k + 5k = 24 Clave B 3 650 [ B 1024 = 8 3 2 & 8k   & k = 3 / h/d = 9 3 ]C 2662 = 11 3 2 & 11k ▪▪ Cuando trabajan los 2/3 del día..3072 = 6141 .° d2)(n. Unidad 3 MAGNITUDES PROPORCIONALES APLICAMOS LO APRENDIDO 6. 4 = x . 5 4 ` a + b + c + d + m + n = 85   18k = 360 ` x = S/. a < c) / 6 > c .° vueltas por hora = 1881 Ç 60 2n 3072 23 ..3=x. 4 = 8 & 8k  26k = 650 9 . 2 & 56 = x Se cumple: & k(2n + 1 . 2n = 3072 7.1)3072 = 6141 . Z (página 51) unidad 3 ] 1k 1..(1) Luego: w2 w 2 b l 2 Analizando el tramo donde A IP B: 32k + 9k = 738 b2 = a . 2 . 2n = 1024 = 210 ` x = 3 ` n = 10 2 P = k (cte) Clave A w2 Clave C Dato: se divide en partes iguales.. d & d = 12 A 18 = 2 . + 2n) = 6141 14 . A3 IP B3 & A3 . 80 4. 2n  3 23 .(1) 8 2 8 Además: (n. 3 2. 9 7 & 7k 300 = x Analizando el tramo donde A DP B: 1. B3 = k (cte) `  n. 5.33 = 3 x 3 . 33 = x3 . + 2nk = 6141 27 12 k(1 + 2 + 22 + . d = 3a . c = 36. 2n = 3072 .. 9 2 & 2k V 360 B 63 = 7 . 10.800 Clave A  k = 20 & A = 2k = 40 Clave C 12. 5 1600 b = 3a = a = 3 = 1 C 81 = 9. Partes DP 8.1 = 6141 2. 3.° dientes n.2P1 Luego en (1): ` ! cifras de B es: 9 ` Pérdida = $ 50 000 a .4 \ 64 4 n. 9 9 & 9k d 400 n m n d 12 4 Luego: 300 = x & m = 24 / n = 36 2k + 7k + 9k = 360 1. 4 = 12 & 12k Luego: ]] 3 7k + 8k + 11k = 650 30 = 60 1380 [ B 1 2 2 .x A = 7k = 175 (menor parte)    4x = 4800 Luego: 23k = 1380     k = 60 B = 8k = 200 ` x = 1200 Parte mayor: 12 Ç 60 = 720 C = 11k = 275 Clave E Clave D Clave B ARITMÉTICA ... C = 9k = 180 h/d $ P Partes DP Piden: C .° V2) ` x = 7 k . B = N . a = b = c =k 5 2 3 5 Clave C n. se deduce que se trata de C.° dientes n.2a)k 3. DP Nivel 2 (página 53) Unidad 3 b0 9a 1 (63a) & 7m n. 6 Clave B N[ ]C 4 &4m 36 = 6y & y = 6 Resolución de problemas ]D 6 &6m ` x + y = 7 + 6 = 13 \ 6..er gráfico:     B2 IP A2 10 5 10 5 III.c = 3 + 6 .2a)k + (x . A =k Una de las partes disminuye en 180.2a)k + (x . a) A3 IP 1/B2 . A . A6 DP B4 34 Intelectum 4.2a & (x .° vueltas A < n. 24 = 16 .4 = 5 ] 2n 8n = 160 Resolviendo: A[ Clave D ]] 3n 3 160 .° lápices costo Comunicación matemática 9a 11.° vueltas B 3N . C = 3N y D = 2N 1.. Si A es IP a B. A3 DP B2 ... 5xk = b0 5n 20 \ 5xk = 10b Razonamiento y demostración ` A = 11n = 220 xk = 2b .° gráfico: ]B 3 &3m 18 .° obreros obra ]1 ]7 7n De (1) y (2): ] 2800 [ 1 xk = 2(4ak) ]3 3n & x = 8a ] & 14n = 2800 II. IP rapidez tiempo n ]] 1 4n = 200 Luego: \4 ` 3n = 600 IP DP Clave A 7a 1 (63a) & 9m 7a III. Sea N la cantidad a repartir. DP 10. V 12 = 21 & 12x = 84 DP 4 x Por propiedad: Z x=7 Si A DP B & B DP A ]A 2 &2m Del 2. B = N . 4 A4 = 484 & A = 48 #4 3 n.2a)k = b ] 4ak = b (b > 4) .  V k + 2k + 3k + 4k = N Practiquemos II. A3 DP 1/(1/B2) & 9m + 7m = b0  16m = b0 & m = 5 / b = 8 . V 10k = N & k = N Nivel 1 (página 53) Unidad 3 Por propiedad: 10 Si A IP B & A2 IP B2 Luego: Comunicación matemática 0 A = N .a)k + xk = 3xk .° vueltas B > n. ZIP 12 DP (x + 2a)k . C = 4N y D = 2N 15 5 15 5 aumenta disminuye 7.°dientes A n.2a)k + (x . IP &  ak = 2 n. 2 = y . Del 1.° . 16  & A = 24 # 8 15m = N & m = N 16 15 2.    IP A = 12 Luego: n.2160 8. A .(1) 4.° vueltas C a + b + c = 120 = 14.a & (x . B = k 2m + 3m + 4m + 6m = N Clave B 24 Ç 8 = A .° vueltas A n. De la relación entre magnitudes. c Clave B x + a & (x + a)k & 48 = 16a 48 = 8b 48 = 3c2 x + 2a & (x + 2a)k 9. DP a=3 b=6 16 = c2 Z (x .4N = 180 3 2 2 10 15 A = 243 5N = 180 & N = 5400 Clave E 150 n.° obreros n. a = 8 . disminuye aumenta B4 Analizando. b = 3c . Reemplazando b = 8 en (2): IV. n.13.° # vueltas = cte Clave B A = 2N .° días DP Z Piden: ]A 1 & k ]B  (x . I.° vueltas C ` D = 2N = S/.(2) n.°dientes C 2k + 3k + 5k = 120 DP 10k = 120 x .24.(x .3ak 2 & 2k N[ ` (x . B = cte b0 x & xk Luego: 2 .a)k + xk + (x + a)k + (x + 2a)k = b0 c=4 ]n ` a + b . entonces: k = 12 x .a)k + xk = 21ak = 42 Clave C ]C 3 & 3k ]D 4 & 4k Clave C \ 5. ¿cuántas son Clave B DP? Además: I.a)k La parte menor es: a = 2k = S/. (2 . 18z = ay . & 9a = 7n 20.6z = 3y . A IP B ` x = 200 soles 4a " 28k 4n " 36k Clave B 12. 8z & 64y . 32z = a2z . 80 3(21) = b & b = 63 nC = 576 = nB f (xn) g (xn) = kxn .146 = 22 Clave B Clave D ARITMÉTICA . F nC . b) A2 DP B . 32)z = a2z . C = cte.126 f(7) + f(13) = 80 s1 5m S1= 52 = 25 m2 = 168 . Precio DP (Peso)2 & E Y = cte III. 23z 16.150 = S/. Comisión: $440 Entonces: a = 7k. n = 9k ▪▪ 64y .126 4 = 105 + 63 . 40 = 576 .4x . V ` x = 360 vueltas 21 + 63 + 126 + x = 215 f(1) = 4 k(1) = 4 & k = 4 Clave B 210 + x = 215 Luego: 4 27 m & x=5 f(7) + f(13) = 7k + 13k = 20k 2 S = ^4 27 h 3 = 9 m2 Luego: 19. 3 2 150 M 5 14.20 .2z = 0 Del enunciado: 20 20 20 y = 2z 36k . (5) y z Luego: B . tiempo es DP a la distancia. k = 100 a = 2M b = 4M 4 ` N = 63k = 6300 11M = 440 ▪▪ 64y . 49k2 9k2 16k2 P2 = 96 Clave C 21 . 3 1 M 5 Luego. A4 DP B2 Resolución de problemas 9 m2 $ 18 soles c) A3 IP B5 . ! cifras: 8 + 0 = 8 210z . b En 3 minutos: III. 32z = a2z Clave A DP 25 . 18z = 24y . 8z M = 40 Clave B c = 5M (26)2z . N = 1 . s . 1/(1/A) IP 1/(1/B) 2a " 14k n " 9k 25 m2 $ x N *3a " 21k 2n " 18k      . 23y . Del gráfico: g (x) g (y) 50 dientes 80 dientes ▪▪ k = 3k & a = 21 g (x) g (y) n. 18 II. F 17. 15 c = 126 x nA = 216 en 3 minutos.2z / N = 63k 10a = 5b = 4c = M & y . 50 = 1 . d = v . V `  Pierde 294 . 5 2 = 1 .28k = 800. a = k . B5 IP A3 15. 18z = ay .5a = 7a = 2100 2 A + B A B = + = k + 1 & cte B B B Clave B Y 2 2 18 50 N Entonces: (A + B) DP B E DP V II. E 3 12 1 21 9 B a = 300 2 Luego: V 5 20 5 M 45 ` 12a . 3 = a & a = 96 Z ]] 5 2 & 5a Clave E Nivel 3 (página 54) Unidad 3 7200 2 [ 7 2 & 7a ]] Comunicación matemática Razonamiento y demostración \12 2 & 12a 21. I. V 24a = 7200 2 Si A DP B & A = k & cte. uno de 3k y otro de 4k. 32z = 3y .4(5) .SOLUCIONARIO UNIDAD 3 35 . 13. c mn m = km ▪▪ k = 2k & c = 2b x b c Luego: c = 2 (63) = kx ` m j nA . 4 4 5a + b . se parte en dos En un MRU se cumple: pedazos. DP     DP 4 d) 1/ A DP 1/B . 128z & 26y . 27z 10 780a = 5390b = 4312c = M 23y .° dientes IP n. (23)z & 2M = 80 212z .° vueltas 7 a g (x + y) = g (x) + g (y) ▪▪ 3k .144 M = 175 f(x + y) = k(x + y) = kx + ky Clave D f(x + y) = f(x) + f(y) Hallando N: 18. 18 294 = P1 = P2 P = 54 cte. Del cuadro: By IP Cz cuando A es cte.c = 5(21) + 63 . A B 9 . 50 = 360 . V 45 5 g (x + y) = m = 1 = 1 N = 18 x+y x + y 1 + 1 g (x) g (y) & M + N = 175 + 18 = 193 m m 40 dientes 15 dientes C D Clave E = 1 g (x) + g (y) 22. f (xn) g (xn) = f (x) g (x) x vueltas ––––– 5 minutos Como: 216 vueltas  ––––– 3 minutos a + b + c + x = 215 IV. 2z . F E2 IP Y V Sea 7k el peso del diamante. 2z . I. t  & d/t = v 21 . = (A + C)D(k + 1) ` 36a = 396 Peso2 = (AD + CD)(k + 1) Clave A cte. + (51 .) Reemplazando (3) en (1): B . 3k = 8n Clave A • D IP C & DC = cte.. cte. R2 & = p & cte. I.)2 . & 2k + 2k + 3k = 2100 & k = 300 B ` 3k = 900 Menor Luego: A + B = BK + B = K + 1 & cte.B BK . 2 2 = = ^10 8 wh (w 50 # 1 ) (w 49 # 2 ) 2 Clave C Cojo 7 # 8 56k Pn = Ciego 24. C = m .n) 28.N Si A DP B & A = Bk: x2 = 1296 Si A DP C & A = Cm: y2 1369 & Bk = Cm & x = 36 .N = 1296y2. ` N = 1332 g Clave D Clave C 36 Intelectum 4..36a = 44 & a = 11 Precio = cte. C2)2 = (cte.nh n ) 2 Manco 5 # 9 45k Si (A + B) DP C & A + B = k & cte. Luego Entonces: 27.. Ciego + Cojo + Manco = 519 30 240 = P1 P2 (A + C) IP (B + D) Ciego 9 # 8 72k = = . (1) A5 B10 = cte. 173M = 519  & M = 3 C Ciego: 72 Ç 3 = 216 378 = 26 838 Luego: 10 n (n + 1) (51) n (n + 1) (2n + 1) Clave B - (A + B) c 1 m = Ck = k & cte. F A = B = C G CG = 6000 210m . V = 8 # 9 = 72k (w ^51 . B2)5 = (cte. abc *B A9 25. M CM = 2000 C A9 = p ... ] " " (A + B) DP (A .n) = 5 # 6 # 71 Sabemos: Si A IP B2 & (A . V 1 4 8 1+4+8 Si A DP B & A = k & cte. (2) GM GL GG = = Luego: 18 # 2000 12 # 3000 9 # 6000 Dividiendo (1 ' 2): Simplificando: A =B = C A = cte. & A DP C 2 8 16 C GM GL GG = = =k A = B = C = A+B+C 2 2 3 III.23 210m .3402 C 800w2 w2 (50 # 1 + 49 # 2 + ... N = 15k = 40n & a = 3... F 18 m 29.. F 1369x2.. B = k . Nx = 1296y . entonces: \ 5k " 40a 12n " 36a B DP D & B = k & cte. b = 2 / c=5 D & 15k = 40n ` a + b + c = 3 + 2 + 5 = 10 • D IP A & AD = cte. V ] 4k " 32a 11n " 33a ] • Si: D DP B. (2) B10 C4 C4 A5 DP C4 MultiIplicando (1) y (2): III.. Razonamiento y demostración Resolución de problemas A 23. (1) Peso DP distancia B5 IP C2 & (B5 .. Del enunciado: (A + C)(B + D) = (A + C)(Dk + D) & 40a .1 1 13 Zk 8a 3n 9a 13bc = 100a + bc Entonces: 26.    . x = N & 1369 c 36 m = N y 37 ` A no es DP a BC. 2 6 D+C mC + C m + 1 n (n + 1) (76 . I.21 210m ..24 Si: A IP B & A .    .° .. Luego: 8a 3a 30. (1) Si: B IP C & B .x = Ny . cte.n) n) Si D DP C & D = m & cte... V n(n + 1)(76 .C B C C 1369 . Clave A bc = abc A . (3) y 37 Veamos: A = Bk = K (no es cte.)5 .B) ]] 2k " 16a 6n " 18a 12bc = 100a N [ 3k " 24a 8n " 24a 3bc = 25a IV.. (2) ` n = 5 Luego: De (1) y (2): Clave B 1369. 72M + 56M + 45M = 519 30 240 = 30 240 .B K . 12 m R2 A = B = C L CL = 3000 2m1 2m3 2m4 Área DP (radio)2 9m II. & A5 = cte. Sea N el peso del objeto: & = 710 & (A + B) IP (D + C) 3 x y II. ° días h/d Obra Sombra Poste 10 4 32 x 3 x 6 24 2x + 4 7 Luego: Entonces: 1 1 7x = 3(2x + 4) 1 3 2 4 7x = 6x + 12  & x = 12 10 . (2) Longitud trayectoria 2: 24 km El tamaño del poste y la longitud de la sombra son DP.° hombres n. Analizando las informaciones brindadas. Del gráfico: 3 + x 4 ▪▪ IP 3 . luego: 60 = 5x & x = 12 DP Piden: Longitud Longitud x ..4 = 7 h/d 4.4 = 11 .SOLUCIONARIO UNIDAD 3 37 . (1) Nivel 2 (página 58) Unidad 3 Con la información II: Comunicación matemática Sombra Poste 11. Longitud trayectoria 1: 32 km 2x + 4 7 m . 6 .5 7x = 11(x .5(x + 3) 2x + 24 = 3. 7 días 11 días IP Entonces: x h/d (x . 24 = x . 12 = 17 11 520 x 1. 20 & y = 6 9.3) Clave E 15x = 20x .3 = 9 estaca sombra Clave C 2 x+3 3. 182 272 ▪▪ Análogamente: 8 15 ` x = 27 días y 20 Clave D 3 4 8.° obreros n.° días 3 12 2. 36 Clave E n. Sabemos que la longitud de la sombra es DP a la longitud de la estaca. Clave B Con la información I: Sombra Poste x m 3 m . Las magnitudes precio y área son DP DP x = 16 320 Área Precio ` Podrán colocar 16 320 ladrillos.5x + 10. 4 . REGLA DE TRES PRACTIQUEMOS Resolución de problemas Nivel 1 (página 58) Unidad 3 Comunicación matemática 6. ARITMÉTICA . Nos piden: x + y = 24 + 6 = 30 15 . x = 20(x . 10 = 2x & x = 5 días Clave C Clave B 5..4) 13. 12 = 4(3 + x) n.. Sea x el n. 32 Por lo tanto.° días 9=3+x & x=6 8 15 Clave E 5 x 1 3 5x = 8 .° h/d que trabajó el albañil.60 3.281 ` x = 256 7.5x   & x = 9 m & x = 11 Clave A Piden: Razonamiento y demostración x . es necesario utilizar ambas informaciones.4) h/d 2(x + 12) = 3. (36)2 81 Clave B (64)2 x 2 IP x = 64 . 15 & x = 24 12 = x 8.5 x + 12 10.15 = y .3 = 12 ..5 = 1. De (1) y (2): Luego: DP n. 82 .° hombres que se quedan en América.3. 1 = 96 . x2 . F n. 2 . 8 = 6. _23 . 5  & x = 75 Clave A 14. 12 Clave B x + 15 = 4x 15 = 3x & x = 5 19. 1 = 10 . tenemos: 20 3 4 x IP Luego: 20 . Del enunciado: IP (n. =k n. 3 = 4 .x) . se obtiene: 60 = 20z & z = 3 días Área 1. 4 3 Clave B _2 3 i x 6.x 20 .12 π .° días Del enunciado. 3 . 2 235 1175 Por lo tanto. y .° días Dificultad Luego: 20 3 1 240 .3.° días Obra 20 1 3 1 Nivel 3 (página 59) Unidad 3 10 2 z 1 Comunicación matemática 20 . Resolución de problemas DP 15.° obreros n. 3 .8 .°días Con la información II: 48 1 235 8 90 n.° minutos n.° galones n.50 n. 3 = x . Del gráfico. V x: n. Luego: Con la información I: 75. cada una de las afirmaciones por separado es suficiente.° plátanos π .° obreros n.° plátanos 96 2 1175 12 x IP 9 3 x DP 3 3 3 IP IP Luego: 9. 2 = (240 .x & x=9 48 .° hombres tiempo & x = 15 días 240 2 240 . z . 6 13.° .x . 1 . 2 75 20 p .° días) 18.° minutos n.3=3. 2 = 3 . n. 90 .° días Luego: x + 15 3 5 . x= & x = 8 horas 18 3 Personas Días Vol. 8 . 1 20. Analizando las informaciones brindadas. 5 x 12 5 x Luego: 1 4 ` x = 1 (x + 15) .° obreros Eficiencia n. x & x = 9 17.12 Razonamiento y demostración 2 50 60 p. 4 . 1 & y = 40 días  x = 120 Clave C III.°ternos h/d n.° monos n. 3 2 3n x = 80 d 6 Lo comerá en 80 horas. F n. n. x . n. x n. Clave D x = 15 . 4 3 y 2 120 = 240 .° monos n.6 9 3 x ` x = 16 m 6 4 8 Clave C Luego: 9 . 5 = 1. 5 2 = x 2 π (2) π (8) Volumen Tiempo 8 .3 3 i 16.a obra = 52 m2 Clave E Área 2.° cocinas) (n.°op. 12 .12. 3 .a obra = 20 m2 38 Intelectum 4.x 4 II.° obreros n.20 = 60. Sea: I. Efic. F & x = 10 días n.° días 5 42 10d CA(65) = 35 w ARITMÉTICA . 90 mesas <> 150 sillas 0<n<m<3 3 mesas <> 5 sillas 2 1 1 mesa <> 5 sillas 3 I. 1 = (3(4C)6 + 2(2C)5 + 3(C)2)x . 1 x2 .° días obra 18 .x . Del enunciado: IP III. resolviendo la 3.° obreros n. V n. x .° días obra 7(4C) 8 21 1 Clave B 3(4C) 6 2(2C) 5 x 1 21.° días Obra ` w = 6 días 13 8 52 m2 4 x 20 m2 23. 1 = (2(4C)7 + 3(2C)4 + 2(C)2)y . V nn(m) = 11(2) = 3 6x = 300 n. 5 . F 8k 22k entregar 12 días antes. de (I) y (II): 24. 20 = 4 . 1 x 32 9 48% 4704C = 98C . 52 I. se debe III.° días ` x = 50 5 42 Clave A mn(3) = 3 z & 5 .a y 2. y c m 3 ` y = 30 días 1200 + 6x = 1500 II. 8d 22d ` z = 70 días Del enunciado.SOLUCIONARIO UNIDAD 3 39 .° días 30 . 8 .° ovejas n.a fila: 3(C) 2 n. 21 . 8 .° ovejas n. 8 . 6 = 20 .a y 4. 1 4704 = 84 . Luego: & 5 . se obtiene: 2(C) 2 y = 54  / z = 6 ` x + y + z = 15 + 54 + 6 = 75 Luego: Clave C 7(4C) . analizando la 1. V 2 1 1 4 1 2 n. Sean: Eficiencia de un hombre: A = 4C Eficiencia de una mujer: B = 2C 1 5 1 4 Eficiencia de un niño: C 13 . z   x -4 & z = 42 días   x    3 & x=4 Resolución de problemas Además. 9 .° días 7(4C) 8 21 1 1 5 x2 + 5x + 6 1(4C) 8 6 5 (x + 3) 1(2C) 6 z 1 1/2 Luego: 3(C) 4 5(x2 + 5x + 6) = 6 .a fila.° ovejas n. w n. z 25.° personas n. 32 . 1/2 = (1(4C)8 + 1(2C)6 + 3(C)4)z . (x + 3) x2 + 5x + 6 = 6x + 18 7(4C)8 . 42 = 3 . 60% = x . 1 . 24 . Del cuadro. 42 = 35 . F mn(3) = 21(3) = 7 Luego: n.° h/d n. y Razonamiento y demostración & y = 56 días 22. 42 = 7 . 15 150 sillas 120 mesas + x sillas 5 42 mn(3) = 7 y  6 = 300 = 300 5 120 5 + x 200 + x & 5 .° h/d n.° obreros n.° días h/d Eficiencia Luego.° días obra dificultad n. 21 .12 = 0 2352 = 56 . 48% 7(4C) 8 21 1 120 = 8x 2(4C) 7 & x = 15 3(2C) 4 y 1 Análogamente. x & x = 48 días II.° personas n.° h/d n. 18 24 8 60% 7(4C) . 8 . 21 . n.° personas n.° ovejas n. 10 .5m 1.(2) 250 110 m b ` x = 22 días Igualando (1) y (2): Clave A 3 (m + 6) = 10 .° . 25 . 10c = (a + b)mc 30 250p 30 10b = am + mb 18 110p x b(10 .(1) ` x = 80 L b 5m Clave C 27. Sean: a: eficiencia de Lalo & 15 . c 1 8 = 5 5 120 + x Luego: ▪▪ a . 30 . 11 29.m 5m m 28.5 l 4 b b 2 80 Clave C 1 m3 Clave D 40 Intelectum 4. (m + 6)c 120 + x = 200 a = 3 (m + 6) . 40 . de Pescado Mezcla Eficiencia Tiempo Obra a 5 (m + 6)c 1 5L 8 b 3 m.2 . m = 4 150 días 200 días 150 . 40 fam. 30 = x . 18 10 . 3m + 18 = 50 . 1. Ac. 1000 l = 637. 3 . mc = b . 5 . 200 Reemplazando m = 4 en (2): 9 =x 16 10 .c 5 (120 + x) L a+b 3 10 ..4 = a 3 4 b 1.2 m3 x 8m = 32 25 fam. 10 = b: eficiencia de Aldo 30k 22k c: longitud de la base 15 + x = 30    ` x = 15 Del enunciado: Clave B 26. Obreros Obra Días ▪▪ b .2 = x .m) = am 30 .m = a ..9 = 51m 16 80 6 =a &a =3 51 m3 . (15 + x) ... 6%(1200) = S/.(60 + 2.120 n.1200 V + M = 36 . 2400 + 15% . F C) 2 + x = 50%(8 + x) 2376 + 60 = 2436 III. I.(1) 85% Pv = 110% Pc Del dato I: I.SOLUCIONARIO UNIDAD 3 41 . El gasto mensual es S/. V Tiros fallados: 9 Pc Pv Pf Anotaciones: 1 + x c 9 m . b = 72    & b = 300 0  100 100 100 4  & V = 20  / M = 16 = 28 Ç 25% 8  ` a + b = 1200 = 25%28 (V) h  Clave A Varones que no usan lentes = 80%20 = 16 ▪▪ 20%80%25 = c 20 mc 80 m 25 = 4 (V) Por lo tanto. I. TANTO POR CIENTO PRACTIQUEMOS Resolución de problemas Razonamiento y demostración Nivel 1 (página 63) Unidad 3 6. x . V 2 + x = 1 (8 + x) Clave B 120 + x%120 = 160 2 x%120 = 40 4 + 2x = 8 + x 8. 3| % 3.44 = V & V = 5c 26% Clave A 5 III. V 8 99 .6 + 6)% = 26% Sabemos: 26% gasto total = 312 Pv = Pc + ganancia 14.. Del enunciado: Pv = Pc + 10% Pc + 15 % Pv gasto total = S/.. F ` x = 5000 ▪▪ 3 = 3 100% = 300% = 75% ! 25% ( F ) = M & M = 4c 4 4 4 Clave E 4 10. 400 B) Porcentaje = c 2 m 100% = 25% 100 100 I.67. 20% . 24% .5% 7. Porcentaje de gastos en suministros es 17 17 100 ` Pv = S/. 2 III. M = 4n . 15% = 750 Del dato II: Razonamiento y demostración x . Por dato: x% = 1 = 1 (100%) & x = 4 bolitas 3 3 Pc = S/.(3) ▪▪ 7%13 + 7%15 + 28%18 Reemplazando (2) y (3) en (1): I. a = 180 7%28 + 28%18 20 . En la tienda A: Comunicación matemática 100 S Tanto Descuento único = c25 + 20 .(2) 9.25..20 m % = 40% 1. 15.° bolitas rojas = 3 Clave D En la tienda B: Pv2 = PF .20%PF = 80%(200) A) Porcentaje = c 3 m 100% = 37. a = 180   & a = 900 5m + 4n = 36 100 (4 + 1)m + 4° = 4° 28%7 + 28%18 = 28%25 = 7 (V) m = 4° II. F 16.. 24 + 60 II.° bolitas verdes = 2 total de bolitas = 8 n. 16 varones no usan lentes. •  Pv1 = Pc + 8%Pc G1 = 8%Pc Descuento único = c20 + 10 .1200 V=5m .. Para que su efectividad aumente.2)% = 28% ! 30% 12. 15 = 750 Mujeres usan falda = 25%M = 25 M 100 100 4.2 Pv = 22 # Pc = 22 # (34) Varones usan lentes = 20%V = 20 V II. • Pv2 = Pc + 8%Pv1 G2 = 8%Pv1 Clave C 108%Pc ARITMÉTICA . b = 72 .34 Ganancia = 10% Pc + 15% Pv & x% = 33.100% = 75% 10 + x ganancia descuento 12 = 10 + x   ` x = 2 & ganancia = descuento Clave B La parte sombreada es 1 = 50% del total. entonces: II. 100 100 Nivel 2 (página 63) Unidad 3 Clave C 5. ▪▪ 28%25 = 28 Ç 25 = 28 Ç 25 24 . 99% .perdida < Pc 11. n..° bolitas azules = 3 72x = 360 Pv1= PF . 2400 + 15 .20 # 10 m % Clave D 100   Pv1 = 108%Pc = (30 . El porcentaje de suministro es: Clave A 100% . 7200 = 360 13. x .40%PF = 60%(200) x% = 5% Pv1 = S/. Luz = 5.160 99 . 400 8 Pv2 = S/. por rciento 100 2. ya no debe & Pv < Pc seguir fallando.4 + 5. F Comunicación matemática Resolución de problemas Si existe pérdida: Pv = Pc . Pc .3 Pc español (120) francés (45) 5 8 Pc = 114% P   ` Pc = 71.Pc) Dato I: 96 solo hablan es pañol. Restante = 2N = S/.G1 = 8 15 . 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aumento = 12% N + 15% 2N + 20% 2N 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 = 82% N = 82% (150) = S/. Sea 5N el salario del obrero: 28 Clave C 20%(5N) = N 50%(4N) = 2N 22.x 96 + 24 + 21 + x = 150 149 + x = 150 & x = 9 28 Por lo tanto. Por lo tanto. 123 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Nuevo sueldo = 5N + 123 = 5(150) +123 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Nuevo sueldo = S/. 873 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Clave A 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 18. Clave D 42 Intelectum 4.x + x + 20 . Razonamiento y demostración Clave C 23. PF = 190%Pc 150 Pv = 75%80%PF Pc + G = 3 $ 4 190%Pc = 114% Pc Luego: 4 5 96 + 45 + x = 150 & G = 14% Pc     141 + x = 150 & x = 9 `  Gana el 14%. Descuento 40% PF Del enunciado: 19. 2014 no es año bisiesto. 300 & N = S/. entonces febrero tiene 28 días. español (120) francés (45) Pv1 Pc Pv2 PF x Pérdida Ganancia Descuento 10% PF 150 Del enunciado: Pérdida = P = 60%(Pv2 .25% P F F 5 96 x Clave C 20. Dato: Luego: G2 .8% . Clave A Dato II: 20%(120) = 24 Nivel 3 (página 64) Unidad 3 español (120) francés (45) Comunicación matemática 21. Pc = 8 35 .° . Sea x el n.x = 28 `  Pc = 1250 & x=7 Porcentaje = c 7 m 100% = 25% Clave A 17.Pc) 5 Pc – 60%PF = 54% PF . el dato II es suficiente. Total = 10N 4N. Hay 24 números primos en la tabla que contiene en total 100 números.2% 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 Pv1 & G1 = -24%k Pv2 & G2 = 6%N 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 -24%N + 6%N + G3 = 9%10N .x = 28 108% . 96 24 21 x Febrero 2014 J (15) R (20) 150 Luego: 15 .6% 3N. 108%N Porcentaje = c 24 m 100% = 24% 100 3N(36%) Clave B `  Debe ganar el 36%. Pc – Pv1 = 3 (90% pF . 8% . el dato I es suficiente.x x 20 .° personas que no hablan francés ni español. 4%(1000) = S/. bc & a = 4c . V1 = 1000 u3 . 28. b círculos P .6%n = 66 =8 & n = S/. n = (n + 6)60%P 25.. bc 100 Clave D 5a = 4 .SOLUCIONARIO UNIDAD 3 43 .934 20%25 = A B.10%(138%PF) Pv = Pc + G Pv3 = 124. = .2%1000 = 512 u3 .20 . 4 Del enunciado: 8 Primero: n + 10%n = 110%n Luego: a = 8. A = cte. Sea: 1 B 4 B 2 5 P: precio de la camisa.. V Reemplazando PcA = S/.° A = 2k .. PvA = 130%PcA = 26 24.20 en (1): A = A' PcB = S/. bc 100a + bc = 81 . A disminuye en 34%.° A = 32 / n. 100% = 36% 100a = 80 .A1 2 V2 = 51... bc & 36 . Luego: (2k)26 + (3k)56 = 3520 II.1000 Entonces perdió: III. 9 = x .10%P) . V 220k = 3520 abc = bc k = 16 90%90 C 50%1 C + 300%C `  n. n = (n + 6)(P .. 25 m % & DU = 40% 5 100 Clave C Luego: D = P .6. Se tiene.80%(110%n) = 22%n Entonces: Finalmente: bc%ac = 10%80 22%n . PF: precio de fábrica & Área = p . Sea n la cantidad inicial de dinero.56 Por lo tanto.. 10 = A & A = 8 4 DU = c20 + 25 . ` x = 10 a círculos Clave A n. D: dinero que tengo.. Para el artículo A: PvA = PcA + 30%PcA Clave B ARITMÉTICA . r2 .4%n = 93. ab Para el mayorista: A = = (2ra)(2rb) = 4r2ab Pv1 = PF + 20%PF 2 Pv1 = 120%PF & πr2 ab # 100% = 25π% 4r ab Para el distribuidor: Pv2 = 120%PF + 15%(120%PF) Clave A precio al por mayor Pc A 1 Pv2 = 138%PF 26.° círculos = ab 30.20 I. V n .40 B C 60%B 121%C A = A' Para el artículo B: B C B C 60% 11 PvB = PcB + 40%PcB 10 PvB = 140%PcB 66%A = A' & PvB = 140%(40) = S/.2%. 5n = n + 6 & n = 9 3  D = P .6%n = 93. B C & PcA = S/. b = 1  / c = 0 Luego: 110%n . 25%B B 64%B Clave A 5 = A 29.40%P) Resolución de problemas P .2%PF `  El precio de fábrica se elevó en 24.70%(22%n) = 6... n.(1) n.° B = 48 abc = bc Clave B 81 C 1 4C 27. n = x(P .A2 abc = bc 2 81 C C & 3 1000 = A1 = 100 36 3 512 2 A2 64 abc = 81 . 90%P .° B 3k PcB 2 Para la tienda: Sabemos: Pv3 = 138%PF . 7 = & x = 21 Nivel 1 (página 68) Unidad 3 x + 15 Comunicación matemática Será necesario 21 kg de un lingote con ley 0. abc = 14 = 0. Del gráfico: Ctotal = 1 + 4 + 5 + 2 + 6 + m Nivel 2 (página 68) Unidad 3 26 = 18 + m & m = 8 Comunicación matemática Además: 1 # 6 + 4 # 3. entonces: `n=2 ^x + 20h y + 20 # 3. 720 72 + 3 6. 48 litro..36 = 20 K CA (ca) = CA(35) = 65 72 + 36 III. 75 # 72 + 0 # 3  Leyaleación = = 0.3.2 # 1 . V 0. 6) + 15 .9 2 4. 14.3 25 = 5 .° . V y = 60 III.4 = Clave B x + 40 44 Intelectum 4. 0.6 el 5.9 & Pm = S/. 84) 10. 5a + 3a + n.7 # Liga 5+x 5 + x = 16   & 0. Pm = 1 # 1 + 2 # 4 + 3 # 9 + 4 # 16 + .. 925 ` 0 < Liga < 8 x+6 17 ` x = 4 kg Resolución de problemas Clave D 15.36 8.6.W = 0...W + 1.72 + 24 K.875 17 17 17 17 ^x + 2h 0. 6 4. 48 + 3 .a. b # 7 < 8 0.2 # Ley # 0. V 13. ab + c = 1 17 mn Clave B & mn = 17 7.Liga # 0.a y = Pm = N = 5x + 40 # 4 . + 8 Nos piden: m + n = 8 + 3 = 11 3 3 3 3 3 Pm = 1 + 2 + 3 + 4 + .0 = (n + 8)a. Clave A 2.48 Como se extraen 20 litros y se reemplazan por 20 litros de vino de S/. (0. F. 583| . + 8 # 64 26 1 + 2 + 3 + 4 + . V Agua x 0  0.2 # 1 . 2 8.9 2 cm 2 Razonamiento y demostración Pm = = 8. x Liga # 0. 5 + 5 # 2. 75 2W 24 Resolución de problemas 0. 5 11. F   18 K. F Se debe agregar 60 L. 40 = 60(y + 120) II. 4 + 2 # 4 + 6 # 3 + 8 # 2. V II. Grado Alcohol 5 80 III. En la primera mezcla se tiene: 9.. 0.3  0. + 8 Clave B 8. F 2 ! ! 5. 95 + ^0.(1) (n + 8) a x + 40 48% 80% 0% 48% 5a. I. F. V & 100y + 120 .80 + n. Alcohol = x(mezcla) m = 1 / n = 7 ab + c = 17 & a = 1 80 ..8     0. MEZCLA PRACTIQUEMOS x (0.Liga  / 1 . 7916|   Ley = 18 = 0. V. 80 + 0 .48 + 3a. 1.9 0.9 3. Cant. 583 24 Razonamiento y demostración & a = 5.3 Mezcla 5+x 25  Luego:  0. Clave B Como c es una fracción irreductible.80 + n(0) = (n + 8) .8 x = 11 ` Se necesitan 11 L de agua.Liga # 0. V II.7 # Liga # 0. x+2 kg 2 kg 2 kg Liga = c = 7 . 60° = x(80 + 40) b + c = 7 40° = x I.. b = 8 / c = 3 I.. 875h = 0.95 0. 9h 2 + 2^0. Pm = 26 n = 78 & n = 3 12. entonces: 0 < c 17 17 8. V2 + 57°. V + 66 .2pr2 = 34pr2 84° . Como: 6m está entre a3 y ab & a = 6 Clave A Reemplazando a = 6: 20. (2.6x2 – 20x – 960 21. 5k + 72° . 9 . Se preparó: 4(63) + 7(6b) = 11 .) Entonces: 6V 77°.° Del gráfico: 6V  5V 1V 2 66° 56° V = πR . R R 2R Mezcla 1.100% = 60% 34πr2 + 2πr2 c m x + 180 2 Gm = 1800°π2r & Gm = 50° ` x = 27 L 36πr Clave D Clave D 19. 4k = 69° Entonces: 12k 48° (34πr2) + 84° (2πr2) Luego: Gm = 69%180 . Despejando y: Luego: 4. 2k + 60° .r .V2 + 57°.3V2 248°V2 20° 15° 19° Gm = = 17. Del primero se ha de añadir 40 L ya que del segundo solo se toma 10 L. 3V2 + V2 4V2 Precio / Litro S/. 82 .13 Pm Gm = 62° Volumen a b a+b Clave C 20a + 15b = 19 22. h 2 3 3V2 % % G = 56 .h / V1 = pR2 .82.18 S/.5 2r r r Clave A Luego: 2 18.6 & V1 = 2pr2 3 V = 12k V2 = p(2r)2 . = 6m 50 4+7 El precio del litro de la mezcla será S/.2. 3 + 10 .SOLUCIONARIO UNIDAD 3 45 ... 6m V1 12 + 7b = 11m Vino 60 L # x L de vino . Razonamiento y demostración 40 .° 2. 1) 4 (a3) + 7 (ab) x= = 2.(2) 60 + x 5 x + 20 60 + x = 75   ` x = 15 Reemplazando (2) en (1): Clave B 4. Sean: a+b V1: volumen del cono 20a + 15b = 19a + 19b V2: volumen del cilindro menos el cono a = 4b Pm = 18a + 13b = 85b = 17 a+b 5b 3m Pv = Pc + g = Pm + 50%Pm Pv = 150%Pm = 150%(17) 6m ` Pv = S/. V1 = π. V1: volumen de cilindro 0 = 6x2 – 200x – 9600 V2: volumen del cono pequeño x – 60 6x +160 h & x = 60 R Clave C h 16. 4x + 104 5x + 160 = x + 20 x + 40 Nivel 3 (página 69) Unidad 3 4. .25. Sea el volumen inicial: V. k + 48° .V1 Gm = Clave D V1 + V2 77°.4x 2 + 104x + 176x + 4160 = 5x 2 + 160x + 100x + 3200 Comunicación matemática 0 = 0. 4x + 104 15 = 1 y= . 23. 5V = 64° (Aprox. H2O 15 L 3 3 & ab = 63 ARITMÉTICA . 10) 2 # 11 x + 124 Clave D m = = 40 (3 .02 5n = 1 50 + 450.20 30. 82 # 250 & 20.02 & n = 0.10) m= N + N + 480 L & 2N +480 L 40 (b . V 27.2) 600 1 bn + bn + n + bm .850 = 5 5 15 x + 250 0.Lm & Lm = 4 0. V El volumen final será: Si m = 3 / n = 16.10) 2 (7b .2) = bn 40 4 2 x L = H2O n (7b .2) 15b .2m = n.16 = 7b .10) 88 L H 20 m= .3b c m 60 L H2O 28 L H2O 100 5 8 4 600 30 L OH + 6L OH 13bn + n + m (b . I.55 " z 29. 32 91 + x Clave E IV. F Si n = 2 / b = 3 36 c m 100% = 25% ` x = 20 2 (7 # 3 . 91 # 7 + 10x = 9   ` x = 182 kg 22 .. F 28.30 = 14b .2) 8° 60° 100° 50° 8(b . V 10 = Pm + 10%(10) III. n + + (b .910x 1 g de plata = $6 ` x = 125 g 1 g de metal = $P Clave A 3+ P = 4 2 26. 480 = 50°(2N + 480) b=6 & N = 750 III.2) 36 L OH Luego: I..2) 5 (b . H2O 60a 140a 204a 276a 8° II.2) 40 m = 0.° . 6n + 4n + 5n 15n P = $2 10% 15% 30% Gm Se tiene la nueva aleación: Gm = 10 # 6 + 15 # 4 + 30 # 5 = 18% 4 $ 30 = 8 g plata 15 # 100 15 15n 18° 11 $ 30 = 22 g metal 15 88 .850x + 212.4n = 56 L ` x = $3.10) Clave C 3= = 40 (b .8 500 & n = 1   / Ley2 = 2 5 5 Luego: 0. 2 = 30. 910x + 0.10 8°(N) + 60°(N) + 100° .2) = 7b . 1 + 10.(1) 40 (b .5 = 205 + 0. 60 L H2 O 28 L H 2O 24. 50 g + 450 g 500 g = 2n + 3n = 1 Ley = 1 Ley = n Ley = n + 0.10 8b . V Pm = 9 CD(36) = 9 Luego: .n = n + 0. Pv = Pc + G II. b = 10 Ley1 = 20% = 1 Ley2 = 2n 5 Resolución de problemas Ley2 + liga2 = 1 25.06 Clave D Clave B 46 Intelectum 4. reemplazando en (1): 2(750) + 480 = 1980 L 16 (7b .6n 10° Luego: 15 # 18n + 10^88 . (b + 2) n b.6nh &  8 g  +  22 g  =  30 g Gm = 16 = 88 + 9n   $6   $2    x &n=8 8 Ç 6 + 22 Ç 2 = 30x ` 88 . reemplazando en (1): 5m (7b .2) m 500 800 100 = n 40 L OH 12 L OH b + (b + 2) + (b . V OH 240a 160a 96a 24a Si n = 5m. 20 000 Razonamiento y demostración ▪▪ M = C + I1 + I2 + I3 M = S/.C = 100 . F mnp = 2 2 = 162 # 2 = 324 4C = C # t # 25 &  t = 16 años 100 100 a + b = 1 Clave D & m = 3.22 400 M2 = C(1 + r%20) = 4875 36 000 Clave D 12. 9 + 20 000 = 21 200 1200 & r = 5. F 36 000 I. En la 1. x2 .360 720 M = 2C Clave B ARITMÉTICA .1] = I 6. r = x% anual 40 = 800 # t & t = 5 ▪▪ I3 = # 100 100 t = 9 meses 180 = 30t & t = 6 C = S/. 21 # 51 p+n-m 4+2-3 3 t = 2 años.14 641 C III. t +1=2 20 = 320r & r = 6. M1 = C(1 + r%8) = 4650 M = S/. M = ? CD(ab) = CD(10) = 4 Nos piden: a+b+c = 1+6+2 = 9 = 3 C = 60 000 .20 Comunicación matemática C # 48 # t + C = 2C I = 80 # r # 4 1200 100 1.80 & I = S/. I. V M = (1 + r%)n r% = 20% anual <> 10% semestral C   r% semestral <> 2r% anual M = 10 000(1 + 10%)4   I = C # 2r # t = C # r # t log c M m = nlog(1 + r%) 100 50 M = 10 000(1.21 200 13. t = 2 meses y 10 días 2 años <> 6 cuatrimestres & t = 70 días Resolución de problemas r = 16% cuatrimestral 12 48% anual M = 3600(1 + 25%)6 15.12 960 36 000 1000 III. ▪ I = C # r # t 25 100 100 t = 25 meses En la 3.1)4 & M = S/.13 732 I = 240 000 # 48 # 70 ` I = S/. F II. 100 Clave D 2a = ab5 # 4 # 5 ▪▪ Además: 100 I2(t = 1) = I1(t = 3) 9. C = 240 000.SOLUCIONARIO UNIDAD 3 47 . V 10.  V 11.9x + 20 = 0 M = 100 + 30 + 90 + 180 x -5 I+C=M M = S/. r1 = 5400 ` La tasa es 8% anual.126 Razonamiento y demostración I+C=M 60 000 # 6 # 816 + 60 000 = M 14. V ▪▪ En el banco C: M = C(1 + r%)n = C + I Resolución de problemas r% = 75% anual <> 25% cuatrimestral C[(1 + r%)n . F ▪▪ En el banco B: log c M m   r% bimestral <> 6r% anual C r% = 20% anual & n= log (1 + r%)   I = C # 6r # t = C # r # t M = 9000(1 + 20%)2 & M = S/. 3 meses y 6 días = 816 días Clave B III. x . INTERÉS PRACTIQUEMOS Hallamos el tiempo: En la 2. I. M = C(1 + r%)n 4.a fila: & 1 + r%8 = 62 I = 300 # 10 # 2 & I = S/. F r = 6% anual M = C + I = 105 + 21 = S/.40 & C = S/.60 1 + r%20 65 7. ▪ Para t = 1: x = 8 I= C#r#t C1 # r1 # 1 100 54 = & C1 .  t = 4  0 r = 4.25% 2.  t = 5 3. ▪▪ Para t = 2: 4 4 1 0 C #r #2 I. n = 2 y p = 4 II. I = ? 100 ` r% = 300 % mensual <> 5% anual r = 48% anual M = 300 + 60 & M = S/.400 x -4 20 000 .30 100 100 100 30 # t 8.a fila: C = M . F ` M = $68 160 M = (1 + r%)n Clave B C III.I = 200 . V Nivel 2 (página 73) Unidad 3 n M = 1 + r% & r% = n M -1 M=C+I & I=M-C C C Comunicación matemática 5. . F II. b = 6 y c = 2 & C+I = 5 #I & C = 1 #I .º fila: Nivel 1 (página 73) Unidad 3 I+C=M I = M . ▪ En el banco A: II.160 90 = 100 # r # 3 & r = 30 ` t = 2 años y 1 mes 100 Clave C I = 160 # 5 # t ▪▪ I1 = 100 # 30 # 1 & I1 = S/. M = 125 # I 5(2a) = ab5 C # r # 3 5400 # 3 100 100 + 5a = 100a + 10b + 5 abc = 1 1 = 100 100 r = 25% 95 = 95a + 10b abc = 162 & a = 1. 16.. t = rk. 103  / C2 = xyz .y) ^C + I1h .t = 20 000 . 53 & C = S/.rk & 26.1) 25.(20%C) = 546 C 4 b0(a) & b < a 0 < 3c = c < b < a < 6 6 + 3 + 4 + 6 + 0 + 1 = 20 625 .902C2 Clave D II. (z . 5 . 17. entonces k = 5. 4 = 8 100 100 100 22. F I1 + I2 + I3 = 320 C = S/.44 I1 = S/.8 r3 = 4% anual & mn = 80 & m = 8  / n = 0 t = 1 año ITotal = 320 6 meses 6 meses 6 meses I. t = 1 año t = 1 año Completando.3%)11 = 1. r% = 80% anual <> 40% semestral Reemplazando en (I).100 = 44z 20 16 k = 100 22m = 44z Reemplazando t de (1) en (2): ^C + 1000h 20 000 = 5 C . . (I) Se deduce: 36 000 I2 = (1 + r%)4 .mn C3 = 1k 36 000 S/. aC2(6) & a < 6 3 4 5 Clave A (1 + r%) = 4 1296 625 I = 40(5) = 20 ` r = 20 27. Sabemos: xyz 601 20. I2 = 5 C (dato) 8 2 16 Por dato: 100.200 S/.. t = 1000 & C.8 m + n = 8 + 0 = 8 = 2c II.250 M2 = C2 + C2(8.20 = 180 C1 = 3k C2 = 2k r1 = 6% anual r2 = 5% anual 21.44.3200C . (1) 2.t . 2014) = 1 ` C = 6(1000) = S/.112 S/. C1 = abc .100 . . Sea C: 500k 10x .144 = Clave C 100 Resolución de problemas 108 + 10x .º año: C2 = 600k  / I2 = 240k 5x + 4 = 22y 100 3. C . 6 . I1 = C1 . 53 & C = S/.. V k = 1000 100 MCD(580.C] .1 = 144 . entonces r = 2. 13n = 26 000 & n = 2000 Luego: M1 = 1803(abc) ` 6n = S/.t Clave E 18C1 = 24C2 = 12C3 C2 = 3n 100 3 2 2 r k = 100 C3 = 6n rk2 = rk . I1 = C. 8 . Sea C el capital inicial. 103 100 rk = 10 M1 = C1 + C1(7. k3 = 2 . 5 . .80 S/. 43.803C1 Por dato: I.4000 I2 = C2 .144 = 44(y . r. Capital: 6k Nivel 3 (página 74) Unidad 3 Luego: Comunicación matemática C = 200 .156.2) ^C + 1000h .530 881 Clave D 1803(abc) = 1902(xyz) Clave E abc = 634 24..188 = 44(z .392 S/. C = S/. (2) 32m .3 200 000 = 0 18. Luego: M2 = 1902(xyz) 19.1% 12 Sabemos: ` C = S/.548. C = 160 000 C = 2 . 5% . C = rk3 C + 800 I3 = C3 .r.r.12 000 C = r .er año: C3 = 720k  / I3 = 288k . 1 + k .50.er año: C1 = 500k  / I1 = 200k 10x + 8 = 44y C . .3% 6 Razonamiento y demostración C . I = rk2. se obtiene: 20 = 180. C + C ` M = S/. 20 C 16 ` C = S/.12% 2 Iguales anualmente 23. F 3k .1) ▪▪ 1x8 . Entonces: C = 500(100) 0 5 . Por dato: M1 = M2 M = (1 + 5%)4 .50 000 Nos piden: x + y + z = 8 + 2 + 5 = 15 (C + 1000)3200 = C2 Clave E Clave C & C2 .280 S/. C + (1 + 5%)2 .r.100 & 44 = r III. t 1008k = 100 800 = 5 C .6000 100. 4 I = C. 1 = 320 CD(ab) = CD(54) = 2 . (y .250 Cada uno de los datos por separado es suficiente.44.36 = 44y . 4 . C = 5x & Pguitarra = 10x r% = 302(4) = 50% Clave B PF = 120%(10x) = 12x M = 532(6) = 200 PF = M1 + M2 48 Intelectum 4..° . Si r = 2.C Del enunciado: abc = 634  /  xyz = 601 Luego: c02(b) & c < b Piden: a + b + c + x + y + z [(1 + r%) C .1x8 = = 5 C 100 100 16 C3 + I3 = 100 800 32m .2%)11 = 1.. k = 320 Del gráfico: 21 # 33 25 ▪▪ I = 100.r.4000 C1 = 4n I = C. 1 + 2k . t M3 = 100 800 ▪▪ 32m .1000 (dato) 1. Si k = 5. 5 . 5 = 1800 12 12 200. =k obra En el siguiente bimestre: (110%C .. C1 + C1 .. t N B 14n 365 C 21n Icomer. 30. 8% . 1) 24a = 7200 2 12x = 125%5x + 115%115 a = 300 2 & x = 23 ` 12a . = 300  n = 9 175 200 . % . 2 1 3 110%C . 9 12 días 36 días 12 Son iguales por dato I2 = C2 . = 2 =k 43 56 Clave A 56k . C1 = 43n 31 28 31 30 30 31 . 12x = C + C(2. 28. se repartió: S/.12 = 240. D 3. Se va a repartir 7200 2 .5a = 7a = 2100 2 ` PF = 12(23) = S/.1430 = 330 4 4 110%C = 1760 ` x = 18 ` C = S/..450 ` 36 .t & t = 30 Resolvemos: N 3N ` C1 = S/. 30% c t . 5 5 N 3N 12 200 pers.30 = 6 días Clave A Clave C MARATÓN Matemática (página 75) 6. 9 + C2 + C2 . x . 15% . 24 . 29. = 175 200 .5%)10 + (115 + 115 . & 72C1 = 25C2 t días 240 pers. C = 175 200 A 4n Icomún = 175 200 .° obreros) (n. 30% .1600 Clave E Clave B 5. 8% .43k = 13k = 390 . 1.1430 Paga = 1430 (n. 20 días cte 20 días 6 h/d 9 h/d    5 2 & 5a 24 costureras x 7200 2       7 2 & 7a 6 eficiencia 8 12 2 & 12a 300 pantalones 200 2 costuras 3 ARITMÉTICA . 351 Clave E Luego: E F M A My . 31 C1 = 56n 150 días 215 G1 G Entonces debe imponerse en mayo. 5% mensual 12 10% bimestral k = 30 Sea la cantidad del préstamo: C ` 99k = 2970 En el primer bimestre: Clave B M = 110%C Queda: 110%C .7 m = 300 365 12 & 39n= 351 Resolviendo: t = 215 días Por lo tanto.276 Clave B Clave A 2. 1 = 30.° horas) 4.Icomer. I1 = C1 . 30% (7) 12 21n = 189 Icomún .1430)(1 + 10%)1 = 363 15 .SOLUCIONARIO UNIDAD 3 49 .. 5% . 3 Luego: c 80 . (3) P = 200 Reemplazando (3) en (2): Tomando como base un litro en cada mezcla: 50N + 6N = 280 P1 = 60%1 . V1 V2 H2O 70m H2O 45k Pv1 Pc Pv2 PF OH 30m OH 55k 30° 55° Pérdida Ganancia Descuento 10% PF 100m + 100k = 5 Del enunciado: 30m + 55k 2 Pérdida = P = 60%(Pv2 ..Pc) 2m = 3k 5 & k = 2a / m = 3a Pc – 60%PF = 54% PF .4a H2O 20 . PF = 130%Pc . Descuento 40% Pf 10.4a m . (200) = 120 56N = 280 P2 = 30%1 .. GB = GN + gasto & Descuento = 9N 60° 30° 6N N 5N 10 L + 20 L & 30 L Pv = Pc + GN = 280 .2 = 200..a 50 Intelectum 4.24.90 Clave E Clave D 9. 20 = 17 F 5 300a + 200a ` Pc = 71. VOH = 80(30) 30%Pc = 15N P.25% PF Clave C ` Pm = S/.(2) P1 P2 S/. (200) = 60 N = 5 & Pc = S/.° .8 100 ` x = 12 costureras a=5 Clave A Entonces se extrae: 5a = 5(5) = 25 L Clave D 7. (1) 11. 5 = S/.x. Se extrae (5a) y se reemplaza por H2O: # (5a) de H2O OH 80 ...325 2V ` Pm = S/. 300. 15 + 200a .3 Pc 5 8 Pc = 114% P Pm = 300a .100% = 60% 6.6 9.250 Entonces: Reemplazando en (1): Pm = 120V + 60V ` PF = 130%50 . (6 + 6) = 80(30) Pc = 50N ..Pc) 10m = 15k Pc – Pv1 = 3 (90% PF .17 Clave C 8.80 PF = Pv + 9N El precio por litro de alcohol será: P Pc + GB P. 72 000 36 000 3 ` Vn = S/.18 936 Clave B Va = 1500 . 11 Va = Vn .40 000 Va1 = 37 600 . 8 + 14k . 36 Datos: 12 36 000 Va2 = 35 720 Va2 = 2982 Dc = Vn . 2 . 30 .14 350 12.50 Dc1 = Vn .725 36 000 ` Va = S/. 40.c x . r .40 000 Va1 = Vn2 . Como: Vn = 7 & tVC = 195k 36 000 Va 3 39k & Vn = 7k / Va = 3k ` tVC = 5 meses Dc = 19 200 . 60 = Vn . r … (2) Va = Vn . 400 = 1 305 850 Clave B 36 400 91 Dc = S/. 1450 = Vn .= 5 x 100 Dr = 1 305 850 .Dc2 Clave C Dc = S/.Dc (página 78) Unidad 4 Reemplazando (2) en (1): Va = 12 000 . 80 .1500 .Va r = 12% anual Vn = Dc .50 = 4450 3 3 Clave B 9. Dc = Vn .2 + x .12 000 .4500 Va1 = 36 472 Va2 = 37 600 .5%(72 000) = 1800 ` Vn2 = S/. 3 + 10k . t . Dc = Vn . t = 1800 . 45 . r 3 600 000 .35 Var = S/.(Dc1 + Dc2) Clave C 7.37 600 # 12% # 5 Va2 = Vn1 .Dc1 Dc = 6200 .3Va = 2(7k) . 9 1200 ` Vn = S/.Dc2 = 3000 . 8 m 36 000 + t . Va = S/. = S/. Dr = Vn .80 = Vn2 .3Va = S/.46 000 Va2 = Vn2 .Dc 36 000 Clave C Dc = 264 3k = 7k . Va2 100 Vn2 = S/. Unidad 4 Descuento APLICAMOS LO APRENDIDO 3 600 000 = Vn .Va Lo que pagará al contado será: Vn . Dc = Vn . t = Vn . 6 . & Var .3(3k) = 5k Va = Vn . 20 3 3 36 000 + 20 .3Va 13.580 & k = 145 Piden: 2Vn .Vn2 2 3 240 Clave B Dc = 72 000 # 12% # 84 = 2016 360 1450 = 239Vn2 5. Sabemos: t = 84 días Dc2 = Vn2 . 5 Dc .37 600 # 12% # 3 36 000 12 Va1 = 1980 Dc1 = S/. 6 = 9600 1200 1. 5 & Va = 19 200 . 20 ` x = S/.Dr 120 . r 8. 4 .40 000 … (1) Va1 + Va2 = 36 472 + 35 720 = S/.40 000 1200 36 000 Del enunciado: 6000 = Vn . 6 . 80 Vn2 .186 Va1 + Va2 = 2Vn2 . r . Va = Vn1 .240 20 de junio 12 sept. 40 .3000 . 20 . r . r 9600 = 2x .Var ` Va = S/.2000 .3000 36 días ` t = 10 meses Va2 6% Va1 37 600 37 600 Clave E 3 meses 2 meses Va1 = Vn1 . t . r% = 2% mensual Cambio de plazo: 2. 2% . 5 Clave A Clave B 15k + 10k + 14k 3.264 ` 2Vn .c 4450 . t VC = 15k. r 1200 1200 2.Var Clave C 60 días 6% 1500 .6720 ` Dr = S/.485. Dr = 120 .4912 36 000 6 meses Clave E 4500 = Vn . 45 36 000 Va Vn = S/. 45 11. r% .comisión = 1980 + 2982 . Si se paga en efectivo S/.1000 4. r x 9600 = 2x .(2016 + 720 + 1800) Dr = Vn . Por dato: Comisiones: 1%(72 000) = 720 3 240 Vn = S/. 60 6. 40 .(Dc + comisiones + cambio de plazo) Clave D Como: Va = 72 000 . 8 100 Dr = 1 305 850 .2000 Va1 3000 t = 300 10.1000 m Vn = S/. 2000 + 1% 3000 = 50 36 000 Clave D Piden: Luego: Va1 + Va2 . t .1800.Dc1 Luego: & 2Vn .SOLUCIONARIO UNIDAD 4 51 . t .5760 Dc = 42 000 .Dc Va = 1500 .Dc1 = 2000 .72 192 Comisión = 1% .1500 Va = Vn .12 000 ARITMÉTICA .1500 Vn1 = S/. 60 = Vn .67 464 14. 12% .70 + = 810 ` t = 4 meses Vn . r = 500 # 47 # 5 = 3. t = 3 meses (100 + t . 5% . q.PRACTIQUEMOS 9.2984.. t = 3 Clave A Var = S/. Utilizando la fórmula deducida: Sabemos: Reemplazando (1) en (2): Dc = Vn .Vac = 4%Vn Vn1 .1k ` Dc = S/. Va = S/. (1) Dr = Vn . 360 Resolución de problemas 6. r 100 Dr = Va . durante el tiempo. t . 4 = S/. Por dato: Dc = Vn .Vn .Vn . r%t = k & r% . r . vencimiento.50 Vn2 . a) Dc = S/. 2 . r Formando la proporción: ` Vn = S/. r 100 Dr = 100 Var = 10 Vn 950 .(I): Nivel 1 (página 80) Unidad 4 Dr = Var ..(II) Clave E 2Vn1 + 3Vn2 = 306 000 …(II) 52 Intelectum 4. t descuentan Dr 8100 . t = 3k & r% .3000 ` Vn = $3000 Luego: Dc = 4%Vn Clave A D1' + D2' = 680 Vn .8730     Dc = Vn . 49 . r% . r 100 + 5 . 3 12 Var = 998 . 97 Formando la proporción: 100 Dc = Vn . r% .360 14. 49 3. Por dato: 9. 12% . 4 Luego: Dc = 800 c 20% m .1000 7 Como: Dr = Vn . r% . Por dato: nominal.Dr 400 . d. r% . Dr = 400 . t Comunicación matemática Dc = Vn .74 = 49 c) Dc = S/. t .26 = S/.75 360 Va = 500 .8.496. 8. 4%. 4%.26 Vn (r%t) 2 = 49 36 000 36 000 10.8000 Comunicación matemática 18 200 = Var . 60 15. t . 5 11 Dc = = 161. t Dr = Vn . 80 35 360 Razonamiento y demostración Razonamiento y demostración Vn . t = 49 La tasa de descuento es de 5% 1 + r% . t ..Dr . t = 0.158 & Dc = 11k . Nivel 2 (página 80) Unidad 4 Vn . r Como: Resolución de problemas Dr = Dr = Vn . 2 . 3 .1491.25. 3 360 360 900 = 7 = 3Vn Clave D 1+ 3 10 Reduciendo: 7 5Vn1 + 7Vn2 = 729 000 …(I) 8. 12% .. r% . Por dato: Vac = S/. r & Var = 10k / Vn = 11k 100 100 (100 + t .Dr) t . 12 2.(I) Reduciendo: Va + 960 = Vn . que falta para el 97 vencimiento. t . El vencimiento contando 60 días a partir del 2 & Var = S/. r%t = 11k . r) Vn . Sabemos: Restando (II) . 0. 90 = 49 Va . t .66 2 Va = Vn . r%t . t descuenta Dc Vn . 40 Vn2 . será el 11 de abril. hay un plazo de descuento de Clave D 47 días.) Vn = S/. Vn = S/. 80 m b) Dc = S/. t = 200 Dr = Vn .1200. Sabemos: + = 680 96%Vn = Vac = 3000 360 360 ` Vn = S/.40 Vac = 9. 90 Podemos decir: Cada 100 descuenta r al año Decimos: Para 100 descuentan r al año Vn . Del enunciado: de febrero.102 200 Dc .. r (l. r 100 17. t . 5 . r% . 5 Clave C 1.84 000 16.Dc Vn .Var = 11k .1 . r% . t .10k 100 100 5.158 Vac = Vn .50. t 1000 . 4% . c 35% . Dc .5 100 Dr = Vn . 4% . t . r) Como: 20% anual = 20 % mensual Dc = Vn .Var = 1200 .1k 100 + t . (2) 12 13. r = 998 . t . El descuento racional es el interés del valor 8100 = 49 nominal durante el tiempo que falta para el efectivo.° .Dr = 49 el 15 de febrero. Por dato: 10k .. 1 Luego: ` Vn = S/.9k = x%11k & x% = 90% ` Vn = S/.3600 Dc = 3 Vn 7 Por lo tanto: Clave A & Dc = 3k / Vn = 7k El valor actual comercial es el 90% del valor 7.Dc = 11k . t 960 = Vn . Aplicamos la fórmula: Dr = Va . Pero al pagarse ` Vn = Var + Dr = S/.3..  Va = S/. t = 200 Vn1 .1 = 1.1000 18. q. 1 + r%t El valor efectivo: 11. r 100 Clave D 4.Vn . r (Vn .800. r = 5% mensual 7k .9k Var = S/..3125 Va = Vn . t . 52% .50 1 + % . D1 + D2 = 810 Var .1.15.840 Clave C Entonces: Vac = x%Vn Vn = Dc . t .1190.  Va = S/. a la tasa de descuento r. t 1 + r% . El descuento comercial es el interés del valor 12.9.33. 4000 C) Dr = S/. Sea el valor del auto: 100k Dc = (x + 1)m  / Dr = xm 23.00 .200 12 el 20 de julio. 6 = S/.00 Nos piden: B) Dr = S/. r = S/.Dr Dr = Vn .16 000 = S/. 1 = 3 & Vn1 = 3k. el traspaso costará: tvc = n^n + 1h k La razón de que se emplee más el descuento 75 000 .00 .00 3 meses 37 500 2 meses 37 500 Clave A 21.18 000. Clave A tvc = 2 ^2n + 1h .72 000 7 < n < 8...0. r 20 de junio 12 de sept. Resolviendo (I)  / (II): Vn .54k = 3k En (I): Luego: Vn3 = 4k Por dato: 3k = n%(100k) Vn = 72m = 14 400 (dato) ` n = 3 (3k) 30 + (5k) 42 + (4k) 60 m = 200 tVC = Clave C 3k + 5k + 4k Piden: Dc .9. t . El descuento comercial se llama abusivo porque 29.75.45 000 d= Cambio de plazo: 2. r (100 + t . r . sobre el k . Va = S/. t . t . r = 900 .(Dc + comisiones + cambio de plazo) d= Va = 72 000 . 15 + ^36 000 . t = 84 días Por dato: 22. 09 Vac 126 ^x + 1h xm .(I) 100 + t .67 464 d = Dr .1 3 3 Razonamiento y demostración 26. es que su cálculo es muy sencillo y a Reduciendo: 75 000 . c 6% m # 5 = 937. t .SOLUCIONARIO UNIDAD 4 53 .xm En el mes siguiente: Resolución de problemas 126 = x2 . Sea d la diferencia entre los descuentos: r = 12% anual 9 < 4n . Por vencimiento común: en él. 91 Vn = (x + 1)xm . Vn2 = 5k Va2 = 54k Vn2 5 x=8 El beneficio será: 57k .9. es decir. t .(562. t1: 1 3 5 (2n .1h valor efectivo. Por propiedad: 27.0..00 D1 Vn3 . r 100 ` Va = S/. c 6% m # 3 = 562.xh 60 30 = Clave E 48 000 Nivel 3 (página 81) Unidad 4 Comunicación matemática x = 16 000 25. r Dc = 72 000 # 12% # 84 = 2016 Clave C 360 ARITMÉTICA .5) = S/.Vn2 = 20 000 .5 12 Vn: k 2k 3k nk una cantidad mayor que la que él desembolsa. 0 + x .1 = x2 . `n=8 100 100 + t . 6 En un mes: Va1 = 60k . t ..1 Va2 = 60k . t . 09 = Dr . 1/6 .Dr = S/.90. 1/6 . Dr Valor de la letra: 60k Dc . 00 100 100 Inicial: 40%(100k) = 40k Vn = Dc .1 & 64 . Va = S/. Dc = x + 1 100 Clave C Dr x descuento racional.5 12 Luego: cantidad que él desembolsa.60k(5%)(1) Por dato: d = Dc .60k(5%)(2) Vn 128 x2 64 x2 24. r (t.1 = 4n .00 .r) Va = Vn .Vn .(D1 + D2) 2 comercial.4500. 1 + 2k . + nk^2n . r (100) Comisiones: 1%(72 000) = 720 Vn1 = S/. 6 = S/. Clave C ` tVC = 45 días 12 000 .5 d = Vn . r equivalente a aplicarle interés al 19.^x + 1h m 100 Va1 = 57k = = Var 128 ^x + 1h xm . Entonces. A) Dr = S/. t .73 500 un corto plazo es insignificante la diferencia entre los descuentos.7200. 5 + . r 100 + 1/6 .Dr = S/.8. (100 + t .72 000 Vn .1) Lo justo sería que cobrara el interés sobre la D2 = 37 500. r = 900 .5%(72 000) = 1800 100 . el banquero cobra el % de interés sobre D1 = 37 500. Dc = Vn . r) .5 + 937. r) Vn2 = S/. Va = S/.Dr Vn = S/. D2 20.1 < 11 3 d = Dc .(2016 + 720 + 1800) Clave A 100 + t .Dr = m 28. Por vencimiento común y tomando como base tVC = 540 ` Dc . 3 + 3k .Vn . t. 4 E = 26 + 2 20 5 ` Me = 28 / fi xi i=1 X= Clave D n X= 45 + 150 + 357 + 297 + 231 50 54 Intelectum 4. 3. Debemos hallar la suma de edades.4) 0 + a0 + 100 + 120 100 n a0 + 130 = 11 X = 60 + 200 + 420 + 270 + 110 (a . [50. 40H 35 12 420 18 + 13 + 11 + 8 [40.4) 0 + a0 + 260 20 32 X = 1060 200a + 2600 = 220a + 2860 . 44H d = 41 10 m = 36 [44. 3w = 30 . 6| % # 300 = 170 es la cantidad de personas que prefieren A. 30H 27 11 43 297 [30. Completando el cuadro: 2 Sabemos: n -F Ii xi fi Fi x i fi Me = Lm + wm > 2 H (m . entonces: [6. 6| % [26. 24H 21 17 32 357 20 [24. puesto que 46 $ 60 = 30 . 20H 15 4 60 para hallar el promedio dividiremos entre la suma de frecuencias: [20. 46H 41 9 55 ` a + b + c + d + n + m = 32 + 50 + 29 + 41 + 12 + 36 = 200 [46. 16H 11 10 10 6w = 56 . 3| )% = 56. 26H 21 16 26 [26.20 = 36 &w=6 [16.1) [6.26 Me = 26 + (36 .440 32 a=9 `  X = 33. Finalmente [10. Del dato: 5 10 + 120 + a0 / fi xi = 55 i=1 X= 10 + 30 + (a . 16 50 [50. como se tiene 6 filas. [a. 32H c = 29 8 14 & 56. 12H 9 5 5 45 fm [12. 36H 31 20 46 Analizando: a = 32 / b = 50 [36. 38H 35 n = 12 26 Clave B [38. 36H 33 7 50 231 Me = 26 + 10 . 56H 53 6 50 Ii xi fi Fi Sea w el ancho de clase. Del gráfico se observa: (página 82) Unidad 4 1. 60] 55 2 110 Clave A 32 2. 26H 23 6 6 Entonces A es el (100 -15 . 18H 15 10 15 150 60 .125 (50 + 10) Ahora: # 100% = 15% 400 Clave D Clave A 6.° . 50H 45 6 270 = 1458 = 29. Estadística APLICAMOS LO APRENDIDO 5. para esto usaremos un promedio en cada Ii xi fi x i fi intervalo y lo multiplicaremos por su frecuencia correspondiente. 3| % Ii Xi fi Fi 360 [20.28.12 = 18 &w=6 Clase mediana es I3. 56] 51 5 60 Clave B n= 60 7. 30H 25 8 200 23 # 8 + 27 # 18 + 31 # 13 + 35 # 11 [30.26) > 2 H [18. De los datos tenemos que R es el 15% y que M es el 102 # 100% = 28. bH 47 8 44 4. Clave E 144° $ a 14.° hijos familias 0 $ 2 PRACTIQUEMOS 1 $ 3 Nivel 1 (página 84) Unidad 4 2 $ 4 x = 10 familias 3 $ 6 Comunicación matemática 4 $ 4 1. b. Piden: X = 1080 `  X = 21.300 = 120 xi fi hi 360° +8 12 a = 30 0. 25 10. 70H a 0.57 respectivamente. 125 224 Clave D `  X = 22 Clave D 11.25  & b = 30 120 [30.6 x .10 0.375 25% $ b +8 28 b = 30 0. S2 = i=1 h2 = 0.40 1 (12. 5 $ 1 2. S = 12.21. 45 + 28 . Completando la tabla: `  x .25 +8 & b = 25%.20 K / xi fi [50.. 100% = 10 .30 0.10 & a = 0. 30 + 36 .20 0. 110H 0. n 1 120 Ii fi xi x i fi      a = 30 [20. B y C. 50H 84 45 3780 120 [50.25 100% $ 300 d = 20 45 0.125 100% Luego: Total 120 1 a + b + c = 300 h2 = 45 = 0. n.20 n n 90 K Luego: /^xi ..125 a = h & a = 0. 30 + 20 .375 120 + 75 + c = 300 & c = 105 120 Clave C h4 = 0. 5) 5 + (22. 90H 27 0.60 N [90.     n = 20 familias ARITMÉTICA .21. 5) 4 + (32. 79) 2 3 + . 100% 50 Clave A n 20 8. 40H 56 35 1960 c = 0. 50H 18 18 0. 5) 3 + (17.SOLUCIONARIO UNIDAD 4 55 . 5 .79 h3 = 27 n Clave B f 0. Sean a. 15 120 X = 9660 = 43. c las cantidades de personas que prefieren A. 70H 14 65 910 / fi xi i=1 X= n X = 700 + 1960 + 3780 + 2310 + 910 224 X = 12 .10 & a = 9 N 90 (12.Xh2 fi 13. 5) 7 + (27.125 & c = 15 [40. 5 .30 i=1 12.30 = 27 & n = 90 & h1 = 1 = 18 = 0.20 = 9. 5) 2 X= 21 n X = 21. + (31. 79) 2 2 ` f2 + h1 = 9 + 0. 88 9. X = [70. 30H 28 25 700 b = 0. & a = 144°. 100% = 50% n Clave C Ii fi Fi hi Hi [30. 60H 42 55 2310 4 [60.2 S2 = Clave A 21 S2 = 157.300 = 75 e = 36 c = 15 0. 2 0. n. n. 8.6% k / xi fi fi Clave B X= i=1 . es x = 0. d1 + d2 11.  5. Del enunciado: Clave D f4 = f5 Completando el cuadro.Fm .2 + 70. 100 & y = 83.° tardanzas = 20 + 25 + 30 + 30 + 40 = 145 K Clave A / di i=1 X= .3 0. 110H 100 10 0. Sabemos que la fórmula es: 4. Nos piden: 4 2 = 2 = 72. .° tardanzas del miércoles $ y% Ii fi Fi Entonces: [5.5% = 37.9 Resolución de problemas 5. 20H 2k 5k 25 $ y% [20.5 Piden: Resolución de problemas 100% .1 + 50.1 1 4n + 3n = 35 Total 100 4n + 3n + 3n + x + 4x 100 7n Si: f2 = 40 / N = 100 & h2 = 0. 2 2 2 2 entonces reemplazando: & Q1 = 4. 5 La mitad de términos 21 = 10.3 8+5 [50.5% 15.° . 70H 60 40 0. 100% decir. 30H n 10k + n 30 Piden: [30.° tardanzas totales 145 En una tabla ya no usamos cada dato sino el promedio de cada intervalo. siendo di cada dato del grupo estudiado. - Me = Lm + wm = G Q1 Q2 Q3 fm (4 + 5) 9 + 10 = 9. Del dato: [90.4 0.3% = 16. 6 25 $ y% 21 y = 62. 5 .7% [40. 276 n.20 E = 65 x = 2n 40 3 (4n) + x + 4x + (3n) 1 3n + 2n + 8n + 3n 12. 11.276 . 5% 10n + 5x 20n Clave E Razonamiento y demostración 13. N 7. n. 5 11 + 11 = 11 = 4.5 y este se encuentra en el intervalo 3.  14 N/2 .4 = 7 10n + 5x 20 La mediana se encuentra en el intervalo 2 ya que H2 $ 0.3 & X = 76.° tardanzas del jueves $ 100% n. 9.5 10. La fórmula es: Mo = Lo + wo = G. Ii xi fi hi Hi Reemplazando: [30. Partimos de la fórmula para datos no tabulados: 6.3 [25.° tardanzas del martes $ 100% k n. 15H 3k 3k 30 $ 100% [15. 45H k 15k Clave B 15k 56 Intelectum 4.6 [70. Los ordenamos 3. el intervalo con mayor frecuencia es el 3.1 . 25H 5k 10k y = 25 . X = 30.5 4n = 2n + x Me = 50 + 20 . 50H 40 20 0. 50 .2 Mo = 60 + 20 .  9.83. Razonamiento y demostración 10. 40H n 14k 100% .3 Q2 = 9. n.  11.10 + 90.5 + 110.62. 8 E = 72.  10. Quedaría: x = 27.° tardanzas día martes = 40 = 0. como = hi N N 8.5 Me = 60 + 20 . Sea x el porcentaje del total de tardanzas del día martes. 90H 80 30 0.° tardanzas de miércoles $ y% queda: X = / xi hi Entonces: i=1 40 $ 100% ! 14.  4. la marca de clase y a este lo multiplicamos por la frecuencia.  13. E Q3 = 11 10 Me = 75 Nivel 2 (página 84) Unidad 4 d1 Comunicación matemática 4. 54. x + 40 + y 16.1 0. 1% x y y X 5. 8.10 & a = 0. 4 . 40H 24 38 0. 6) 2 + (1.° total de personas: k z% = c m .375 0.100% 100 k + 3k + k + 3k + k = k 25 50 50 100 20 5 z% = c 20 + 40 + 10 m . 24H b = 30 0.10 Piden: [18. 13.30 0.100% h4 = 30 & h4 = 0. 9.40 + 60 = 1 D1 D3 D5 n 60 = 0.175 50 20 [30.27 y S/.SOLUCIONARIO UNIDAD 4 57 .375 80 n k 500k 5 h1 = a 80 `  z . 7. 14. 4) 2 S= = 2. 30H b=6 14 0. 18H a = 10 0. - 0. 9.. 6| % Sea z% el tanto por ciento del total que tienen edades desde 20 hasta 33 15k Clave B años. 50H 30 68 0. h2 = 0.100% = 5.10 + 0.1 = 4 3k 10 k 10 [20. 100% = 66..85 10 50 500 [50. Completando el cuadro: 3 4 10 10 Ii fi Fi hi Hi x = 3 y [10.3 = 24 & n = 80 Piden: n 44k z . 12.075 0.100% = 500 . Los ordenamos: [30. 10. 5. 20H a=8 8 0.44k . 14.10 Clave D a = 0. 36H 20 20 n D1 = la décima parte.30 & b = 30 n 100 (1. 11. 9. 4) 2 + (0. 8. f3 h3 = z = 9k + k + 3k + 2k = 44k n 500 50 100 100 500 0. 11. 11 CV = S # 100% = # 100% = 39. 13.075 = b & b = 6 80 [12.15 1 y = 4 c k m = 2k n = 80 1 10 20 100 Como: Sea z: frecuencia relativa entre S/.100% 100 3k k 50 20 ` z% = 70% x y Clave D 20 27 30 50 54 60 18. 9.30 X = 4 + 5 + 4 + 9 + 3 + 6 + 7 + 6 + 8 + 2 = 54 = 5. 44 18 20 24 30 33 36 Clave C 4 6 ARITMÉTICA . + (3.10 & a = 10 n 100 20.30 + 40 + 20 = 1 4. D3 = 3 partes 10 n = 100 1 D5 = 5 = 1 parte 10 2 0. 14 n n . 4 10 10 b = 0. 10k + n + n = 14k x = 4 2y = 20 2n = 4k & n = 2k 30 6 Tienen por lo menos 20 años: 10k & x = 20 & y = 10 Piden: 10k .475 x = 3 c 3k m = 9k [40. 5.10 0. 4) 2 + . 11 10 Luego: 30 20 2.1 = a & a = 8 n Clave E 80 17. 60H 12 80 0. n. 30H 40 40 n 19. 100% = 44% 0. Completamos el cuadro: h2 = b 80 Edades fi hi Hi 0.6 & n = 100 D1 = 4 n D3 = 8 " D1 + D3 + D5 = 21 Como: D5 = 9 h1 = 0.30 & b = 0.3 0. .40 f1 + f3 + F4 = 8 + 24 + 68 ` f1 + f3 + F4 = 100 Clave D [24. 09 + h1 = 1 Hacemos: d1 = fm .1)30(0. fi Comunicación matemática 21. 32H 26 15 0.Lo d1 + d2 [20.10 d1 Wo e o = Mo .F(m . 68H 62 30 0. Lo(d1 + d2) + d1Wo = (d1 + d2)Mo Ii xi fi hi Hi d1Wo = (d1 + d2)(Mo .1)) Intervalos fi Fi hi hi # 100% Hi # 100% Me .1) N/2 .2 III.f(m -1)  / d2 = fm .Lo) [8. 20H 14 10 0. F.f(m + 1) i=1 3h1 + 0. V II.70 [56.Mo / hi = 1 & h1 + 0. 2) = 68 ! 37 m h4 = 25 = 0.09 fm . h3 = 0.Lm 26.10 0.F(m . Intervalos fi hi Fi Hi I. x5 + f4 = ab [10.1) fm .Lod2 22. V.h1 + h1 + 0. fm xi fi Fi x i fi 20 10 10 h1 f(m + 1) 40 16 26 0.1 Queda: h3 + x1 + F3 = 65. f1 # h1 # f5 # h5 = 10(0. 44H b = 32 40 0.55 [40.f(m . 54H 42 82 fm [54.1) 60 19 45 h1 + 0. wm (N/2 .° . 56H 50 25 0. 64H 18 100 100% N/2 . 60H 20 0. CD (x4) = CD (50) [50.d1Mo = d2Mo .F(m .Lo Lo + Wo .09 + 0.25 d1 [32. F III.26 .09 80 26 71 0.F(m .Lm = Fm .1) Me = Lm + wm = G Total n = 100 fm 58 Intelectum 4.Lo Lo + Wo . 34H a=8 8 0.26 . 50H 25 0.Mo I. 44H 38 20 0.25 Razonamiento y demostración 100 23.08 8% 8% [34.3 0.32 32% 40% wm (N/2 . 40H a = 30 0.3) = 9 = 32 ° 20 = 0.45 Mo = Lo + Wo = G d1 + d2 [44.F(m .25 n = 80 0. 30H 0.3 & a = 30 100 Fm + 1 Wm F4 + f5 = 100 Fm n + 20 = 100 N/2 & n = 80 Fm .7 = 1 & h1 = 0.25 0.2 & m = 100 & 62 + (3 . 20H 62 + 25 = ab [20.1)) Me = Lm + [44.1) [24.F(m .14 d1 d2 = Mo . F.15 0.25 87 = ab & a + b = 15 = 3c [30.30 1 Resolución de problemas 100 25.8 II.h1 f(m .2 100 1 = (1 + 1)(2 + 1) = 6 m = 100 h5 = 0.Nivel 3 (página 85) Unidad 4 24. F d1Lo+d1Wo .f(m + 1) 120 10 100 h1 = 6 Mo .1 Además: f1 + f2 + 30 + 25 + 20 = 100 Lm Me xi f1 + f2 = 25 ` f1 + f2 + n = 105 Por semejanza de triángulos: Clave C Fm .20 0.26 L0 M0 L0 + W0 xi Por semejanza: 100 19 90 h1 + 0.3 Fi a = 0.1) = Wm Me .26 + h1 + 0. y% = 20% Como: h1 + h2 + h3 + h5 = 1 Clave C h3 = 0.08 h2 = 0. 20.5b = 80 . 5 Clave B 25 31.100% = c m 100% S= 5 5 h1 + h2 + h3 + h 4 1 = 51% B) 20.4 x = 0. 6 y 45 y . f4 = 9 x% .85 = 8. 6) 2 + (3.5b = 80 &a=8 & b = 32 160 . 6) 2 + (0.11 Piden: 5 5 h1 + x 0..SOLUCIONARIO UNIDAD 4 59 . 9 e o .5k = 0. 21 Clave B X = 20 + 25 + 20 + 22 + 21 = 108 = 21. 60H 9 48 0.4b = 80 & 4b = 80 ` f1 + f3 + F3 = 8 + 42 + 82 = 132 & b = 20 Clave B Reemplazando el valor de b en (2): a = 180 / n = 300 27.08 + 1. 30H 12 12 0. E & Mo = 40 + 10 .22 0.08 0. 85 100 5 40 1. 25.32 100 100 Reemplazando (2) en (1): (160 + b) .(1) h1 = 0.15 = (por semejanza) 1 5 [60.b = 160 a = 160 + b .22 Clave E 5 7 8 9 30. 40H 9 21 0.40 + 60 = 1 = n = 2 & 2 = 2 = 5 (dato) n n n h3 f3 f3 f3 h3 n 60 = 0.60 = 40 (por semejanza) W = 60 . 6) 2 S= = 1.. h1 + h2 + h3 + h4 = 1 f2 h2 f f h 0. 5. A) 2.2 y . h1 + h2 + h3 + h4 = 1 h3 = b = 20 = 1 2k + k + 0.9 & k = 0.(2) a = 0.2 Porcentaje que aprueba al presidente: Reemplazando el valor de k en el cuadro. 4) 2 + (1.08 + 0. 3. 4. 51 32 + 22 + 12 + 0 + 22 = 18 = 1. 50H 18 39 0.6 & n = 100 n f1 .45 La dispersión de b es mayor a a.2 1 1 [30. 7 X = 2 + 3 + 4 + 5 + 7 = 21 = 4. 7H [7. E fi hi d1 + d2 18 aprueban a = 180 Mo = 45 desaprueban 5b = 100 5d Clave D no sabe no opina b = 20 d n = 300 ARITMÉTICA .3 15 ` n + x + 60h3 = 364 h2 = 0.60 4. 22. x% = c 180 m 100% = 60% & x = 60 300 Ii [5. 15H & n + x + 60h3 = 300 + 60 + 60 c 1 m hi 0.02 + 0.f2 = 80 & a .20 = 10 4 1 5 n = 60 / fi = hi(n) & f2 = 9 x .5k = 1 n 300 15 4.08 b = 0.. 70H 12 60 0.4 0.45 15 [50.45 = 3 & y = 48 x .f3 = 160 & a .32 f1 .3 d1 9 29.32 + 42 + 18 = 1 & 0.. 12H [12. 9H [9. 6 5 5 28. % (1. 4) 2 + (0.15 Se observa: [40. 10 Ii fi Fi hi 7 12 17 18 22 23 27 Edad [20.60 = 8 & x = 68 Piden: Por simetría: f5 = 12. 2 h1 = 0.3 y . 9 x CV(a) = = 45% 60 x . 2 15 CV(b) = 1. Mo = Lo + Wo . 56% 21. hay 43 = 64 palabras. necesitamos todos queremos formar tenemos cuatro que podemos n (n . Luego por el principio de multiplicación tenemos: 9 pantalones y 6 polos & 54 maneras 1 4 10 20 20 26 39 Cm n # Pn = Vn m Por lo tanto: 1 5 15 35 55 81 120 Se podrá vestir de 69 maneras distintas.n) !n! ^P3 . S $ SSS Cada peón tiene 2 posibilidades de movimiento. 2 C 3 posibles jugadas. 4.1) los arreglos posibles de 3 elementos tomados de escoger. Resolución de problemas B Clave D 5. esto es: Cn2 = 1. es decir un proceso D eliminamos su fila y columna. nos queda 12 casillas recursivo. 17.o er 3. 19. Se pueden presentar 4 casos: posibles de llegar de A a E. Podemos plantear el problema como una Nivel 1 (página 89) Unidad 4 por lo tanto hay 5 # 3 = 15 maneras de escoger combinanción. 17. al ser 2 caballos tenemos 19. Es decir. se Comunicación matemática Por lo tanto. 19. 3. zapatos pantalones blusas T C A R R A C T C $ SCC 2 # 3 # 4 = 24 días C P P P P P P P P S $ SCS Por lo tanto: S Como noviembre tiene 30 días. subconjuntos de 2 personas de las n que Comunicación matemática n! asistieron. 1 6. 5 faldas y 3 blusas & 15 maneras 1 3 6 10 x 6 13 es Pn.2) !2! 8. (n . Para completar la expresión. 1 ó análisis recíproco de las fichas negras nos da 20 20.n) ! (m . 6. 7 = 35 maneras S $ CCS C 11. diferentes. 1h P3 = 864 6 líneas de coaster San Wilson y queda demostrada la igualdad. Sabemos que en una variación nos importa el Nivel 2 (página 89) Unidad 4 5 líneas de microbus orden de los elementos. esto 16. En el caso Vnm . posibles movimientos. 15.° . Clave C ` V55 = 120 P3 P4 1 Razonamiento y demostración Clave B Además. Clave C er 1. se pueden realizar de encuentran todos los grupos de tamaño n que se 10. Análisis combinatorio PRACTIQUEMOS escoger el pantalón de tres maneras distintas. Clave E Felipe 4. buscamos todos los arreglos posibles. Escogemos una casilla negra cualquiera si de alguna altura anterior. para cada una de ellas podemos 60 Intelectum 4. Obtendremos todos los ordenamientos posibles Se puede ir de A hasta B de 120 maneras usando el diagrama de árbol. CSC. 14. Tenemos: juntos se pueden considerar como un bloque. Como este procedimiento Hay 3 # 2 # 3 + 3 # 2 + 3 # 2 # 2 = 36 formas se puede repetir para cada una de las 18 casillas 20. 3.5) ! 2! 9. C17 = 5 . negras entonces tenemos 12 # 18 = 216 maneras Regala los 4 coches a un solo hermano. Se pueden coger de: C $ CCC Clave E C C15 . un total de Clave A 20 posibles movimientos el jugador blanco. x posibilidades. 4. 2. 2. esto lo Clave B diferentes de escoger dos casillas. x Notar que cada altura tiene un recorrido máximo. 15. Por lo tanto. P4 . puesto que necesitamos escoger un pantalón y una camisa. como los tomos de cada obra deben estar 3. lanzamiento lanzamiento lanzamiento Como son 8 peones ya tenemos 16 posibles Nivel 3 (página 90) Unidad 4 De todos los casos posibles los que cumplen movimientos. 11. 2. una negra. deberá repetir su C $ SSC S forma de vestir 6 días. 2 los 5 que tenemos. V55 = (5 . una casilla adelante o dos casillas adelante. 7. usaremos el recorrido máximo 2 2 12. 17. 3 + 2 A B E por tanto al calcular el recorrido máximo de Razonamiento y demostración x una altura dada. una blanca y puede hacer de 3 formas. 11. y posteriormente se realiza todas 1 2 3 4 5 6 7 las ordenaciones posibles de cada grupo. Para cada una de las letras de la palabra que 2. Por tanto tendremos: Clave B Resolución de problemas 5! = 5! V35 = 5! = 60 resultados. 9. 13. Analicemos las posibilidades de movimiento del Clave A C $ CSC blanco: S S $ CSS 18. 4 líneas de ómnibus m! m! Luego: Cm n = = = Cm m-n n! (m . La fórmula será: . además cada caballo tiene 2 Comunicación matemática son: (CCS. esto se puede realizar Clave B de Cmn formas. un 20. En total se tienen 20 # 20 = 400 ambos con tamaño 10. 15. SCC) hay 3 ordenamientos. 4 + 6 + 5 = 15 maneras. es decir. El recorrido más largo es: 4 movimientos posibles. A 1 1 1 1 1 1 presenta en el conjunto. La camisa la podemos elegir de cinco maneras distintas. x blancas para escoger. sin cambio en el resultado.1)! . 1 a otro y 1 a otro. Si asumimos a y b como un T 4 ! formas. 3. tenemos C53 = 5! = 5 # 4 = 10 que elegir a partir de los m .1)! (n . Esto es equivalente estacionar los coches. Esto de Cm -1 subconjunto. Necesitamos ordenamientos específicos de 3 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325 n elementos que tiene. esto es: Es decir se puede hacer la repartición de: C1 no puede estar en el subconjunto. Regala 2 a uno y 2 a otro. 4. el 26.2)(n . es Clave A n . Ya sabemos que este número es Cm en 3 del total de 5 espacios en la cochera. formas posibles. contamos decir: V35 = 5! = 5 # 4 # 3 = 60 formas de de C32 # C34 # 2! formas.2(n . n Aplicando ahora el principio de suma: Ahora analicemos de manera distinta.1)! 27. Cuatro cartas diferentes se pueden alinear de repetición. Entonces la solución será: Clave B g F L n! . Regala 3 a uno y 1 a otro. En segundo Regala 2 a uno. pero a y b pueden permutarse de 2! Pueden sentarse de 5! # 4! = 2880 formas. por la que la Es decir el problema se convierte en una variación con repartición cuya solución es V44 = 4! formas. es n! y restarle aquellas permutaciones cuando pueden sentarse de 5 ! formas y las mujeres de a y b están juntos. 2.1 .2 (n . Tenemos un conjunto C de n elementos y 5 + 5! + 5! + 5! + 5! 3! 2! queremos contar el número de subconjuntos de 24. auto: azul blanco verde rojo Resolución de problemas la que se busca son arreglos específicos sin 23. en primer lugar los subconjuntos de C de n 2! elementos que tienen a C1.1 elementos 3! # 2! 2 3 + C32 # C34 # 2! + C32 # C24 + 3! # C24 = 81 restantes de C. Esquematizada: Cm m-1 n = Cn . La idea para resolver el problema es calcular el A cada coche asignaremos uno de los cuatro total de permutaciones de los n elementos que Respetando esas posiciones los hombres posibles dueños. Para cualquiera de estas opciones. esto se puede hacer a contar los subconjuntos de n -1 elementos del de C32 # C24 formas. esto se puede hacer Sea C1 ! C un elemento de C. cartas que pueden acompañar a las figuras. F formas. conjunto C – {C1}. del modo siguiente: H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4 H5 22. sólo elemento habrá (n -1)! permutaciones con dueños L a y b juntos. esto se puede 25. elementos que no tienen al elemento C1. Como cinco. ARITMÉTICA . que son Cm -1 n .SOLUCIONARIO UNIDAD 4 61 . Por V15 + V25 + V35 + V45 + V55 lo tanto tenemos 9 # 4! = 216 maneras. es decir. sin importar el orden de elección. esto para cada una de las 9 solución será: 34 = 81 formas posibles. pero vamos a calcularlo de otra manera. Se puede formar las señales usando 1. ó T 5 banderas. maneras de elegir a los tres alumnos. 21.1)! F T L g n(n . Se debe elegir tres elementos de un conjunto de lugar contamos los subconjuntos de C de n realizar de 3! # C24 formas.1 + Cn m-1 problema también podría plantearse. variaciones. B) = 4 + 3 .3 = 0.P(B + A) P= 4 = 2 6 3 segundo elija el mismo número es: & P(B + A) = 0 & B + A = Q y esto es Clave C P = 1 = 0. entonces la probabilidad de que el P(A) + P(B) = P(B) + P(A) . P(L) 5.9 Nivel 2 (página 93) Unidad 4 & P(A + B) = 0. Cada resultado B = {1. El evento consta de 5 elementos. B'] = 0. b y c. P (B) 3 3 6 Clave C Nos piden: P[(A . P(B . B)'] Clave B P(A .P(M + L) . 3. Clave D 62 Intelectum 4. B') = P(A + B)' = 1 .6 = 0. Supongamos que el primero ya ha elegido un cierto la información entonces: número.8) P(A + B) = 1 .4 # 0.0. A) Del total de 8 números. luego B) Por propiedad: P(M + L) = P(M) . 4. Si: A = aprobar el primer examen. B)' = 1 .P(B + A).1 2 =1 = P(M) + P(L) . Se puede elegir dos fichas verdes de C52 # 4 formas.8 10 10 tendría que cumplir = P (A') Clave C P (B) P(A) = 0. Por tanto la probabilidad pedida Clave D II. Como A y B son independientes c Clave A b a Coincidencia & P(A + B) = P(A) .1 Comunicación matemática P(A') = 1 . 14 7 c b Coincidencia Clave B a c Coincidencia C52 # 4 La probabilidad es: = 10 . Hacemos un diagrama que refleja la situación. entonces la probabilidad es: = P(M) + P(L) . 8} P(M) + P(L) . P (B + A) & P(A/B) = = 6 =1 Luego la afirmación es cierta.P(M + L) P(A) .) = 0. 5. 2 cumplen con la P(M . P(A'/B) = & De la afirmación. El espacio muestral está formado por b c Coincidencia P= 4 = 2 a C93 elementos.5) = 0. Por tanto la probabilidad de que no elijan el B = aprobar el segundo examen. y como 1 A y B son independientes A' y B también lo son. B) 14. Si fuera será: 8.6 P(B) = 0.P[A' .4 Nos piden: 11.6 + 0.2P(M) . 7} 10.0.er dado) = 3 =1 2.P(A + B)] influye en el resultado del otro. b c a C93 21 Razonamiento y demostración a b 13. Se observa que A = {2. 17.8) 3.2(0. es decir 14. Se observa que el resultado en cada dado no = 1 .P(M + L) P(A + B) = 0. P(B) = 0. mismo número será: P (A' + B) III.8 . P(B) Llamamos a los sobres A.(0.° . Debemos comprobar que: P(A + B) = P(A) . P(par 3. 6 2 M = (0.6 Comunicación matemática P(par 2.42 La respuesta es: 1 + 5 = 7 .[P(A) + P(B) . P(L) P(A + B) = 1 .7 # 0. 4 8 8 Observamos: P(A + B) = P(A) .P(A) = 0. Probabilidad PRACTIQUEMOS = 3 = 1 Resolución de problemas P(par 1.44 P(A . Luego: & A+B=Q Luego los eventos son mutuamente excluyentes.8 . P(B) P(sea par) = P(B) Luego A' y B deben ser independientes. P(A' .er dado) Nivel 1 (página 93) Unidad 4 6 2 15. 2 Resolución de problemas 12.1 es independiente.12 son diferentes condición. Nos piden: P(obtener 6) = P(A) & P(A' + B) = P(A') .1 = 9 = 0. 7.P(A + B) Finalmente tendríamos: Sabemos: A: número par: {2. 9 P (A' + B) P(B) = 0.2P(M + L) Luego: Si P(A) . y que en cuatro de ellas hay al menos una coincidencia. I.58 = 0. P(B) P(A .6) L = (0.6 P (B) 1 .P(A + B)' B: mayor a 5: {2. P(B) si P(A) = 1. se & P(A) = 0. Esta última expresión solamente es igual a Observamos que hay 6 posibles ordenaciones La probabilidad es: 5/14.42 8 8 8 8 Clave B Hacemos: P(A) . B) = P(A) + P(B) .2 = 5 P(A + B) = 1 .1 imposible. 4.8 9. A) = P(B) + P(A) . B)' = 1 . Clave C correspondientes a. P(Mat. 7. 6.P(A + B) = 0. Pero M y L son eventos independientes. 8} = 0. L) . Luego la afirmación no es cierta.6 + 0. P(B).6 & P(A) = 0. y a las cartas Luego A y B son independientes.° dado) = 3 = 1 6 2 P(Leng. B y C. 9} & P(A . P = cuadrados de 4 cm total de cuadrados Sobre A Sobre B Sobre C 6.P(A . 16. El espacio muestral son todas las monedas.8 1. P(B) = 0. P(B) ! P(A + B) 8 4 & No son independientes. pues A y B no son mutuamente 10 excluyentes. & P(3 sean pares) = 1 # 1 # 1 = 1 2 2 2 8 Razonamiento y demostración Clave D 4.6)(0.) = 0. r ` P(par) = P(2) + P(4) + P(6) = 2 + 1 + 1 = 4 Clave D 9 9 9 9 Se observa: Clave C 31.P(A) .32 64 .7 Alumnas (3 .8 # 0.4 F es igual en ambos casos = 1 .27 Clave C La probabilidad de que vayan ambos es la probabilidad de la intersección. 2 = 8! = 10 080 = n(W) = 3003 2!2! & P(acertar) = 1 Clave C 6 ARITMÉTICA . 3. 2.22 Nivel 3 (página 94) Unidad 4 Nos piden: a + c = 0. 1.. 0. Probabilidad = Área del círculo Estos sucesos son mutuamente excluyentes. 4 se podría formar por la suma de (2. B)' = 1 . = 1 .r)2 6 # 4 y 4 # 6.P(B)] 28.. 3. en total si En total 31 formas de las 6 # 6 # 6 = 216 son d dados nos dará 6d.8 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 P(A/B) = 0. El evento posible de que una pareja dada sean cero probabilidades de encontrarse. P = 16π2 = 16π = π & 3 formas 17 64 4096 256 Clave B Clave A 9 $ (6. pues en P(P') = 0.4 r 64 x + 2x + 2x + x + 2x + x = 1 Por probabilidad condicional: +r x= 1 P(A/B) = P (B + A) 9 P (B) +r P(2) = 2 . Debemos demostrar que P(A' + B') = P(A') .47 y P(P) = a + b = 0.73 Clave C & a = 0. 2) $ 3 formas C18 + C82 + C83 + . y como los dos P(W) = P(P' + F') + P(P . (5. La solución es una adición de combinaciones: 22. 1) $ 3 formas 8 + 28 + 56 + .9 # 0. 1) $ 6 formas 32.48. 42 = 16p El espacio muestral está formado por todos los primos al cuadrado. son m monedas nos dará 2m. en total si `  La probabilidad es: 31 . = 5! # 7 # 3! # 9! = 7 Donde: C12 3! # 2! # 12! 22 P(F) = b + c = 0. B) Cada moneda nos da 2 posibilidades. c = 0.49 $ P(P) = 0.P(A)] .25. 1) Entonces la probabilidad es 2 .[P(A) + P(B) . por ejemplo. 450 150 0. Se observa que los viernes y domingo tienen F = llevar filosofía 19. 3) $ 1 forma Clave B 23.. es el producto: 20. y 30.6 Alumnas 6 ` P (E) = = Clave D 3003 1001 Clave C P(chica) = 0.51 3 P(R + K) = P(R) .P(A + B)] 216 = 1 . Luego: posibles P(A' + B') = P(A .27 El espacio muestral son todas las parejas sucede que: posibles. P(4) = 1 . 1) $ 3 formas sabiendo que P(A + B) = P(A) . P(F') = 0. En cualquier otro día. P(P' + F') = 0. 2.51 esposos se cumplirá de 8 maneras. P(6) = 1 P(B + A) = 0. que son un total de 17. Cada dado nos da 6 probabilidades.3 Alumnos B) Con dos cerraduras el número de casos Número de eventos I posibles es: V23 = 3! = 6 = n(E) = C24 # C62 # C15 0. 3d = [1 .1 # 0. F) = a + b + c = 0. la solución es: 5#4#3#2#1 V33= 3! P28. P(B') (7. Luego la probabilidad será: productos mayores a 10.18. 1) $ 6 formas (5. P(K) = 4 . 2 = 8 Clave A 5 5 25 P(P . F) C52 # C17 sucesos son independientes.69 Clave C Resolución de problemas 29. Los únicos números con tres divisores son los Área del círculo = p . 3) $ 6 formas (4.47 hay 8 parejas de casados.. + C88 P(D) < P(B) < P(A) < P(C) (4. 2m = 2d + m .4 64 32 9 9 9 P(B + A) = 0.7 + 0. 2. A = hay un pequeño sismo en Perú Área de la mesa B = hay un fuerte sismo en el Océano Pacífico como: Hallamos el área del círculo: P(A) = 0. el martes. Sea: P(1) = P(4) = P(6) = x Clave B Comunicación matemática P(2) = P(3) = P(5) = 2x 21. Número de elementos del Clave C & P(A' + B') = P(A') . r=4 27. Hay 2 posibilidades de que el producto sea 24: (64 + r)2 = 322 + (64 .1 0.26. 26. P(B) 33. P(B) Clave C El total de posibilidades es 6d . P(B') = n(W) = C15 espacio muestral 5 34. Entonces la probabilidad es: P(Roberto vaya el martes) = 4 Ω P F 5 8 = 8 # 14! # 2! = 1 16! 15 2 a b c C16 P(Karina vaya el martes) = 2 5 0.9 exitosos 0. Se trata de una permutación con elementos 24. [1 .SOLUCIONARIO UNIDAD 4 63 .P(B) + P(A) . puesto que esos días ninguno de los dos va a la tienda. 1.6 = 0. b = 0. P = llevar psicología 25. 4. + 56 + 28 + 8 + 1 = 255 Razonamiento y demostración (3.2) ! = 6 # 15 # 5 Alumnos Luego la probabilidad de acertar a la primera = 450 0.P(A .53 $ P(F) = 0. en este caso solo 4 y 9. A) El número de casos posibles es: = 15 # 14 # 13 # 12 # 11 # 10 repetidos. d1 = 5 36 000 10. 16H 8 8 7.3775 Dc1 = Vn . d2 = 15 Datos: 25 días 17 días d1 5 Vn = S/. MMH. MHM..28 m Luego: 9Vn .45 000 3.5 Sabemos: Clave D Dc = Vn . Sean los eventos: Dc = S/. r .(1) 20 C8 4199 [16. Mo = 28. n = 17 1 4 P (A + B) = 8 =1 Clave D P(A/B) = Q1 = 16 + 10 c 17 .3775 . MHH.. A + B 5Vn = 19 175 Me = 28.8 m P (B) 4 4 20 8 12.3700 C820 4199 1. 56] 5 68 HHM.3775 2 & Me = 26 + 10 c 34 .9000 Mo = 26 + 10 e o = 26 + 10 c m d1 + d2 20 Va = S/. Dato: C10 2 8 # ^C1 h (página 96) Unidad 4 6.28 m 25 Dc = Vn . y Mo Vn . t & t = 42 días 4. 46H 10 63 8. Sea el evento: 36 000 A: no aparecen dos 6. Q1 = 20.° . r .MARATÓN MATEMÁTICA 8 11.3835 2.8635 6 oct. 1 nov. 4 Vn . 73 = 9000 .210 Vn = S/. 90 = Vn . Q2.33 975 = 4Vn . B: Roberto aprueba el curso de Física II. 31 oct. r . Clave C Va2 = S/.Va fecha que 9000 . HMM.2 & P(A + B) = P(A) # P(B / A) = 3 # 2 = 2 36 000 5 3 5 Clave E Clave E 210 = 45 000 . 40 = Vn .(2) [36. r .8635 se cobró 42 días 5. 9 = Vn .3835 Por lo tanto: El valor actual es: S/. Q3 = 26 + 10 c 51 .Va2 Clave A [26.14 800 25 A = {MMM}. 3n = 51 14 de septiembre 6 de octubre 4 A: Roberto se matricula en el curso de Física II. = 384 Va1 = S/. 4 . 73r = 365 & r = 20 ` El documento vence el 17 nov. B{MMM. 36H 25 53 ! Me.3700 [6. 7 oct. 1200 [46. HMH.. HMM}.3700 n = 34 B: la familia tiene por lo menos dos hijas. 45 4 P(A ) = 1 .. 26H 20 28 ! Q1 Dc2 = Vn .Va1 Ii fi Fi C10 9 2 6 1 # C6 # (C1 ) Vn . = 1792 1200 . Sea r% la tasa anual.4 = {MMM} Clave C & Vn = S/. HHH} Dividiendo (1) entre (2): n = 68 Sean los eventos: A: la familia tiene 3 hijos. t Q3 = 35. MHM. 17 nov. W = {MMM. MMH.c 35 m c ` r% = 20% Clave A 36 Clave A Clave E 64 Intelectum 4.P(A) = 1 .5 Clave B 2 meses = 60 días Clave A t días 9. 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